1. مسئله: مقدار $\cos \alpha$ را برای نقطه $P(x, \frac{2}{3} \pi)$ در دایره مثلثاتی پیدا کنید. 2. در دایره مثلثاتی، مختصات نقطه روی دایره به صورت $(\cos \alpha, \sin \alpha)$ است که $\alpha$ زاویه متناظر با نقطه است. 3. زاویه داده شده $\frac{2}{3} \pi$ رادیان است. مقدار $\cos \frac{2}{3} \pi$ را محاسبه می‌کنیم. 4. می‌دانیم که $\cos \frac{2}{3} \pi = \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$. 5. اما گزینه‌ها مقدار $\cos \alpha$ را به صورت کسری با مخرج 3 و رادیکال داده‌اند. بنابراین باید بررسی کنیم که آیا نقطه $P$ مختصات دیگری دارد یا خیر. 6. اگر نقطه $P$ مختصات $\left(x, \frac{2}{3} \pi\right)$ باشد، احتمالاً منظور این است که $y=\frac{2}{3} \pi$ و $x$ مقدار $\cos \alpha$ است. 7. با توجه به گزینه‌ها، گزینه‌ای که مقدار $\cos \alpha$ را به صورت $\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$ یا $\pm \frac{1}{3}$ نشان می‌دهد، باید بررسی شود. 8. با توجه به اینکه $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$، اگر $\sin \alpha = \frac{2}{3} \pi$ باشد، این مقدار بزرگتر از 1 است و نمی‌تواند مقدار سینوس باشد. 9. بنابراین احتمالاً $y=\frac{2}{3} \pi$ به عنوان زاویه داده شده است و باید مقدار $\cos \alpha$ را از روی زاویه محاسبه کنیم. 10. مقدار $\cos \frac{2}{3} \pi = \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ که در گزینه‌ها نیست. 11. پس احتمالاً نقطه $P$ به صورت $(x, y)$ با $y=\frac{2}{3} \pi$ داده شده و باید مقدار $x$ را پیدا کنیم که روی دایره واحد باشد. 12. معادله دایره واحد: $x^2 + y^2 = 1$. 13. جایگذاری $y=\frac{2}{3} \pi \approx 2.094$، داریم: $$x^2 + (2.094)^2 = 1 \Rightarrow x^2 = 1 - 4.385 = -3.385$$ که منفی است و امکان ندارد. 14. بنابراین احتمالاً $y=\frac{2}{3} \pi$ به عنوان زاویه است و باید مقدار $\cos \alpha$ را از روی آن محاسبه کنیم. 15. نتیجه: مقدار $\cos \frac{2}{3} \pi = -\frac{1}{2}$ است که در گزینه‌ها نیست. 16. اما اگر منظور زاویه $\alpha$ باشد که $\sin \alpha = \frac{2}{3}$ و $\alpha = \arcsin \frac{2}{3}$، آنگاه مقدار $\cos \alpha$ را محاسبه می‌کنیم. 17. با توجه به رابطه: $$\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$$ 18. علامت مثبت یا منفی بستگی به ربع زاویه دارد. اگر $\alpha$ در ربع دوم باشد (که $\sin$ مثبت و $\cos$ منفی است)، مقدار $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$ خواهد بود. 19. بنابراین پاسخ درست گزینه 4) $-\frac{\sqrt{5}}{3}$ است. پاسخ نهایی: $\boxed{-\frac{\sqrt{5}}{3}}$