1. مسئله: بررسی تساوی الف) \( A = \sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \sin^{-1} \left( x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2} \right) \) با شرط \( |\sin^{-1} x + \sin^{-1} y| \leq \frac{\pi}{2} \) 2. فرمول و قوانین مهم: فرمول جمع آرک‌سینوس: $$\sin^{-1} a + \sin^{-1} b = \sin^{-1} \left(a \sqrt{1-b^2} + b \sqrt{1-a^2}\right)$$ با شرط اینکه مقدار داخل آرک‌سینوس در دامنه \([-1,1]\) باشد و جمع زاویه‌ها در بازه \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) قرار گیرد. 3. اثبات: فرض کنیم \(\alpha = \sin^{-1} x\) و \(\beta = \sin^{-1} y\) پس \(x = \sin \alpha\) و \(y = \sin \beta\) و \(\alpha, \beta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\). 4. داریم: $$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2}$$ 5. پس: $$\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \alpha + \beta = \sin^{-1} \left( x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2} \right)$$ با شرط \(|\alpha + \beta| \leq \frac{\pi}{2}\) که تضمین می‌کند مقدار داخل آرک‌سینوس معتبر است. نتیجه: تساوی داده شده صحیح است تحت شرط \(|\sin^{-1} x + \sin^{-1} y| \leq \frac{\pi}{2}\).