1. **Énoncé du problème :** Nous avons un triangle avec les côtés $A=5,9$, $B=3,4$ et l'angle $\alpha = 22^\circ$ opposé au côté $a$. Nous devons trouver l'angle $c$ (noté ici $\gamma$) opposé au côté $C$. 2. **Formule utilisée :** Nous utilisons la loi des cosinus qui relie les côtés et les angles d'un triangle : $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$$ Mais ici, nous connaissons deux côtés et un angle, donc pour trouver l'angle $c$ opposé au côté $C$, nous devons d'abord identifier correctement les données. Supposons que $a=5,9$, $b=3,4$, et $\alpha=22^\circ$ est l'angle opposé à $a$. 3. **Calcul du troisième côté $c$ avec la loi des cosinus :** $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$$ $$c^2 = 5.9^2 + 3.4^2 - 2 \times 5.9 \times 3.4 \times \cos(22^\circ)$$ Calculons chaque terme : $$5.9^2 = 34.81$$ $$3.4^2 = 11.56$$ $$2 \times 5.9 \times 3.4 = 40.12$$ $$\cos(22^\circ) \approx 0.9272$$ Donc : $$c^2 = 34.81 + 11.56 - 40.12 \times 0.9272 = 46.37 - 37.22 = 9.15$$ 4. **Calcul de $c$ :** $$c = \sqrt{9.15} \approx 3.02$$ 5. **Trouver l'angle $c$ (noté $\gamma$) avec la loi des sinus :** La loi des sinus est : $$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$$ On isole $\sin(\gamma)$ : $$\sin(\gamma) = \frac{c \sin(\alpha)}{a} = \frac{3.02 \times \sin(22^\circ)}{5.9}$$ Calculons : $$\sin(22^\circ) \approx 0.3746$$ $$\sin(\gamma) = \frac{3.02 \times 0.3746}{5.9} = \frac{1.131}{5.9} \approx 0.1917$$ 6. **Calcul de l'angle $\gamma$ :** $$\gamma = \arcsin(0.1917) \approx 11.04^\circ$$ **Réponse finale :** L'angle $c$ vaut environ $11.04^\circ$.