1. **نص المسألة:** حل المعادلة المثلثية $$2 \sin 2\theta + \sin \theta = 1$$ حيث \(\theta\) بالدرجات. 2. **القوانين المستخدمة:** - نستخدم صيغة الزاوية المزدوجة: $$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$$ - المعادلة تصبح: $$2 (2 \sin \theta \cos \theta) + \sin \theta = 1$$ 3. **التبسيط:** $$4 \sin \theta \cos \theta + \sin \theta = 1$$ 4. **التجميع:** نجمع \(\sin \theta\) كعامل مشترك: $$\sin \theta (4 \cos \theta + 1) = 1$$ 5. **تحليل المعادلة:** - المعادلة تعني أن حاصل ضرب \(\sin \theta\) و \(4 \cos \theta + 1\) يساوي 1. - نبحث عن قيم \(\theta\) التي تحقق هذا. 6. **الحل:** - نفترض \(\sin \theta = a\) و \(\cos \theta = b\) بحيث: $$a (4b + 1) = 1$$ - نستخدم العلاقة الأساسية بين الجيب وجيب التمام: $$a^2 + b^2 = 1$$ 7. **التجريب بالقيم المعطاة في الخيارات:** - الخيار ب: \(\theta = 45^\circ\) - \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\) - \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707\) - تحقق المعادلة: $$0.707 (4 \times 0.707 + 1) = 0.707 (2.828 + 1) = 0.707 \times 3.828 \approx 2.707 \neq 1$$ - الخيار ج: \(\theta = 60^\circ\) - \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866\) - \(\cos 60^\circ = 0.5\) - تحقق المعادلة: $$0.866 (4 \times 0.5 + 1) = 0.866 (2 + 1) = 0.866 \times 3 = 2.598 \neq 1$$ - الخيار د: \(\theta = 90^\circ\) - \(\sin 90^\circ = 1\) - \(\cos 90^\circ = 0\) - تحقق المعادلة: $$1 (4 \times 0 + 1) = 1 \times 1 = 1$$ 8. **النتيجة:** - الحل الصحيح هو \(\theta = 90^\circ\). **الجواب النهائي:** \(\boxed{90^\circ}\)