1. Išreikškite kampų dydžius radianais: 1. a) $275^\circ$ į radianus: $$275^\circ = 275 \times \frac{\pi}{180} = \frac{275\pi}{180} = \frac{55\pi}{36}$$ 1. b) $-825^\circ$ į radianus: $$-825^\circ = -825 \times \frac{\pi}{180} = -\frac{825\pi}{180} = -\frac{55\pi}{12}$$ 1. c) $43^\circ 28'$ į radianus: Pirmiausia $28'$ į laipsnius: $$28' = \frac{28}{60} = 0.4667^\circ$$ Tada $$43.4667^\circ = 43.4667 \times \frac{\pi}{180} = \frac{43.4667\pi}{180} \approx 0.7589$$ 1. d) $-225^\circ 12'$ į radianus: $12' = \frac{12}{60} = 0.2^\circ$ Tada $$-225.2^\circ = -225.2 \times \frac{\pi}{180} = -\frac{225.2\pi}{180} \approx -3.929$$ 2. Išreikškite kampų dydžius laipsniais (1° tikslumu): 2. a) $$\frac{33\pi}{5}$$ radianų į laipsnius: $$\frac{33\pi}{5} \times \frac{180}{\pi} = \frac{33 \times 180}{5} = 1188^\circ$$ 2. b) $$-\frac{29\pi}{11}$$ radianų į laipsnius: $$-\frac{29\pi}{11} \times \frac{180}{\pi} = -\frac{29 \times 180}{11} = -474^\circ$$ 2. c) $2.5$ radianų į laipsnius: $$2.5 \times \frac{180}{\pi} \approx 143^\circ$$ 2. d) $-1.6$ radianų į laipsnius: $$-1.6 \times \frac{180}{\pi} \approx -92^\circ$$ 3. Nubrėžkite apskritimą su centru koordinačių pradžioje ir pavaizduokite posūkio kampą: 3. a) $990^\circ$ į radianus: $$990^\circ = 990 \times \frac{\pi}{180} = \frac{11\pi}{2}$$ 3. b) $-450^\circ$ į radianus: $$-450^\circ = -450 \times \frac{\pi}{180} = -\frac{5\pi}{2}$$ 3. c) $$\frac{26\pi}{18} = \frac{13\pi}{9}$$ radianų 3. d) $$-\frac{39\pi}{4}$$ radianų 4. Pradinį spindulys OA, pasuktas $230^\circ$, sutampa su spinduliu OB. Raskite dar du teigiamuosius ir du neigiamuosius kampus: Kampai, kurie skiriasi $360^\circ$ kartotiniais, sutaps: Teigiami: $$230^\circ + 360^\circ = 590^\circ$$ ir $$230^\circ + 2 \times 360^\circ = 950^\circ$$ Neigiami: $$230^\circ - 360^\circ = -130^\circ$$ ir $$230^\circ - 2 \times 360^\circ = -490^\circ$$ 5. Nustatykite kampo $\alpha$ koordinatinį ketvirtį: 5. a) $\alpha = -140^\circ$; pridėkime $360^\circ$: $$-140^\circ + 360^\circ = 220^\circ$$, kuris yra III ketvirtyje. 5. b) $\alpha = \frac{85\pi}{18}$ radianų į laipsnius: $$\frac{85\pi}{18} \times \frac{180}{\pi} = 850^\circ$$ 850° mod 360° = 850 - 2*360 = 130°, kuris yra II ketvirtyje. 5. c) $\alpha = \frac{15\pi}{2}$ radianų į laipsnius: $$\frac{15\pi}{2} \times \frac{180}{\pi} = 1350^\circ$$ 1350° mod 360° = 1350 - 3*360 = 270°, kuris yra IV ketvirtyje. 5. d) $\alpha = 14$ radianų į laipsnius: $$14 \times \frac{180}{\pi} \approx 802^\circ$$ 802° mod 360° = 802 - 2*360 = 82°, kuris yra I ketvirtyje. 6. Remdamiesi brėžinio duomenimis, raskite kampo $\alpha$ sinusą, kosinusą ir tangentą. Kadangi kampas $\alpha$ yra tarp spindulio OA (x ašis) ir spindulio OB, kuris yra ketvirtame ketvirtyje, tarkime, kampas $\alpha$ yra $230^\circ$ (kaip nurodyta 4 užduotyje). Sinusas: $$\sin 230^\circ = \sin (180^\circ + 50^\circ) = -\sin 50^\circ \approx -0.7660$$ Kosinusas: $$\cos 230^\circ = \cos (180^\circ + 50^\circ) = -\cos 50^\circ \approx -0.6428$$ Tangentas: $$\tan 230^\circ = \tan (180^\circ + 50^\circ) = \tan 50^\circ \approx 1.1918$$ 7. Duotąjį kampą pakeiskite teigiamuoju kampu intervale $[0; 2\pi)$ ir apskaičiuokite: 7. a) $\sin 1110^\circ$: $1110^\circ$ mod $360^\circ = 1110 - 3 \times 360 = 30^\circ$ $$\sin 1110^\circ = \sin 30^\circ = 0.5$$ 7. b) $\cos \frac{26\pi}{3}$: $\frac{26\pi}{3}$ mod $2\pi = \frac{26\pi}{3} - 8\pi = \frac{26\pi - 24\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ $$\cos \frac{26\pi}{3} = \cos \frac{2\pi}{3} = -0.5$$ 7. c) $\sin \left(-\frac{25\pi}{3}\right)$: $-\frac{25\pi}{3}$ mod $2\pi = 2\pi - \left(\frac{25\pi}{3} \mod 2\pi\right)$ $\frac{25\pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3}$, tai mod $2\pi$ yra $\frac{\pi}{3}$ Taigi, $-\frac{25\pi}{3}$ mod $2\pi = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$ $$\sin \left(-\frac{25\pi}{3}\right) = \sin \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.8660$$ 7. d) $\tan \frac{13\pi}{4}$: $\frac{13\pi}{4}$ mod $2\pi = \frac{13\pi}{4} - 3\times 2\pi = \frac{13\pi}{4} - 6\pi = \frac{13\pi - 24\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4}$ Kadangi moduliavome, galime pridėti $2\pi$: $-\frac{11\pi}{4} + 2\pi = -\frac{11\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$ $$\tan \frac{13\pi}{4} = \tan \left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \tan \frac{3\pi}{4} = -1$$ Atsakymai pateikti su paaiškinimais ir tarpiais, kad būtų lengviau suprasti.