1. Vamos resolver os problemas dados passo a passo. 2. Primeiro, convertemos os ângulos dados em graus para radianos usando a fórmula $$\text{radianos} = \text{graus} \times \frac{\pi}{180}$$. 3. Para 120°: $$120^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{120\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$$ radianos. 4. Para 45°: $$45^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{45\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$$ radianos. 5. Agora, para o Triângulo 1, com hipotenusa $$3 + \sqrt{5}$$ cm e cateto adjacente 4 cm, calculamos as razões trigonométricas para o ângulo $$\alpha$$: - $$\cos \alpha = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{4}{3 + \sqrt{5}}$$ - Para racionalizar o denominador: $$\frac{4}{3 + \sqrt{5}} \times \frac{3 - \sqrt{5}}{3 - \sqrt{5}} = \frac{4(3 - \sqrt{5})}{(3)^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{12 - 4\sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{12 - 4\sqrt{5}}{4} = 3 - \sqrt{5}$$ - $$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (3 - \sqrt{5})^2}$$ Calculando $$ (3 - \sqrt{5})^2 = 9 - 6\sqrt{5} + 5 = 14 - 6\sqrt{5} $$ Então: $$\sin \alpha = \sqrt{1 - (14 - 6\sqrt{5})} = \sqrt{1 - 14 + 6\sqrt{5}} = \sqrt{-13 + 6\sqrt{5}}$$ Como $$\sin \alpha$$ deve ser positivo e real, verificamos o valor numérico: $$6\sqrt{5} \approx 6 \times 2.236 = 13.416$$ Logo: $$\sin \alpha = \sqrt{-13 + 13.416} = \sqrt{0.416} \approx 0.645$$ - $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{0.645}{3 - \sqrt{5}}$$ Calculando $$3 - \sqrt{5} \approx 3 - 2.236 = 0.764$$ Então: $$\tan \alpha \approx \frac{0.645}{0.764} \approx 0.845$$ 6. Para o Triângulo 2, com hipotenusa $$\sqrt{5}$$ cm e um ângulo de 45°, os lados são iguais (pois é um triângulo isósceles retângulo): - Cada cateto $$= \frac{\text{hipotenusa}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$ cm. 7. Para o problema 8, dado $$\cot x = -1$$: - Sabemos que $$\cot x = \frac{1}{\tan x}$$, então $$\tan x = -1$$. - As funções trigonométricas para $$x$$ onde $$\tan x = -1$$ são: $$\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos x = \mp \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \tan x = -1, \quad \cot x = -1, \quad \sec x = \pm \sqrt{2}, \quad \csc x = \pm \sqrt{2}$$ O sinal depende do quadrante onde $$x$$ está. 8. Calculando a expressão: $$y = \frac{\tan x \cos x + \sec x \cot x}{2 \csc x}$$ Substituindo: $$\tan x \cos x = (-1) \times \cos x = -\cos x$$ $$\sec x \cot x = \sec x \times (-1) = -\sec x$$ Então: $$y = \frac{-\cos x - \sec x}{2 \csc x}$$ Sabendo que $$\sec x = \frac{1}{\cos x}$$ e $$\csc x = \frac{1}{\sin x}$$: $$y = \frac{-\cos x - \frac{1}{\cos x}}{2 \times \frac{1}{\sin x}} = \frac{-\cos^2 x - 1}{2 \times \frac{1}{\sin x} \times \cos x}$$ Multiplicando numerador e denominador por $$\cos x \sin x$$ para simplificar: $$y = \frac{(-\cos^2 x - 1) \sin x}{2}$$ Substituindo $$\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ e $$\cos^2 x = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$$: $$y = \frac{(-\frac{1}{2} - 1) \times \pm \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{-\frac{3}{2} \times \pm \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \pm \frac{-3\sqrt{2}}{8} = \mp \frac{3\sqrt{2}}{8}$$ Resposta final: - $$120^\circ = \frac{2\pi}{3}$$ rad - $$45^\circ = \frac{\pi}{4}$$ rad - Triângulo 1 razões trigonométricas: $$\cos \alpha = 3 - \sqrt{5}$$, $$\sin \alpha \approx 0.645$$, $$\tan \alpha \approx 0.845$$ - Triângulo 2 lado desconhecido: $$\frac{\sqrt{10}}{2}$$ cm - Para $$\cot x = -1$$, as demais funções são $$\sin x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$\cos x = \mp \frac{\sqrt{2}}{2}$$, $$\tan x = -1$$, $$\sec x = \pm \sqrt{2}$$, $$\csc x = \pm \sqrt{2}$$ - Valor da expressão $$y = \mp \frac{3\sqrt{2}}{8}$$