1. **O que é a trigonometria?** A trigonometria é um ramo da matemática que estuda as relações entre os ângulos e os lados dos triângulos, especialmente os triângulos retângulos. 2. **Por que a trigonometria faz parte do nosso quotidiano?** Porque ela é usada para medir distâncias inacessíveis, calcular alturas, navegar, construir, e em muitas áreas da ciência e tecnologia. 3. **Converter os seguintes arcos:** c) Exprimir em radianos: - 180°: Usamos a fórmula $$\text{radianos} = \frac{\pi}{180} \times \text{graus}$$ $$180^\circ = \frac{\pi}{180} \times 180 = \pi$$ - 34°7': Primeiro convertemos minutos em graus: $$7' = \frac{7}{60} = 0,1167^\circ$$ Então, $$34^\circ 7' = 34 + 0,1167 = 34,1167^\circ$$ Convertendo para radianos: $$34,1167^\circ \times \frac{\pi}{180} = 0,5953\,\text{rad}$$ - 60°33': $$33' = \frac{33}{60} = 0,55^\circ$$ $$60^\circ 33' = 60 + 0,55 = 60,55^\circ$$ Convertendo para radianos: $$60,55^\circ \times \frac{\pi}{180} = 1,057\,\text{rad}$$ d) Exprimir em graus: - $$\frac{\pi}{3}$$ rad: $$\frac{\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = 60^\circ$$ - 3,14 rad: $$3,14 \times \frac{180}{\pi} \approx 179,91^\circ$$ - $$\frac{3\pi}{4}$$ rad: $$\frac{3\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} = 135^\circ$$ 4. **Mostrar que:** $$(\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x$$ Expandindo o lado esquerdo: $$(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x$$ Usando a identidade trigonométrica $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$ temos: $$1 + 2\sin x \cos x$$ Logo, a igualdade está demonstrada. 5. **Determinar a medida do lado AB e amplitude dos ângulos B e C no triângulo ABC:** Dado: - Ângulo em A é reto (90°) - AC = 1 cm - BC = 2 cm - AB = x (desconhecido) Usando o Teorema de Pitágoras: $$AB^2 = BC^2 - AC^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$$ $$AB = \sqrt{3} \approx 1,732\,\text{cm}$$ Para os ângulos B e C: - Ângulo B (β) oposto ao lado AC = 1 cm - Ângulo C (α) oposto ao lado AB = $\sqrt{3}$ cm Usando seno: $$\sin \beta = \frac{AC}{BC} = \frac{1}{2} = 0,5 \Rightarrow \beta = 30^\circ$$ Usando seno para o ângulo C: $$\sin \alpha = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866 \Rightarrow \alpha = 60^\circ$$ Verificação: $$\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$$ **Resposta final:** - $$AB = \sqrt{3} \approx 1,732\,\text{cm}$$ - $$\angle B = 30^\circ$$ - $$\angle C = 60^\circ$$