1. Problema: Resolver cada triángulo rectángulo usando razones trigonométricas y encontrar las medidas faltantes. 2. Triángulo 1: Ángulo $30^\circ$, lado adyacente $25$ m. - Usamos $\cos 30^\circ = \frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}$. - Hipotenusa $= \frac{25}{\cos 30^\circ} = \frac{25}{\sqrt{3}/2} = \frac{25 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{50}{1.732} \approx 28.87$ m. - Lado opuesto $= \sin 30^\circ \times$ hipotenusa $= 0.5 \times 28.87 = 14.44$ m. 3. Triángulo 2: Hipotenusa $15$ cm, un cateto $11.18$ cm. - Encontrar el otro cateto usando Pitágoras: $$\text{otro cateto} = \sqrt{15^2 - 11.18^2} = \sqrt{225 - 125} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}.$$ - Ángulo opuesto al cateto $11.18$ cm: $$\sin \theta = \frac{11.18}{15} = 0.745, \quad \theta = \arcsin(0.745) \approx 48.1^\circ.$$ 4. Triángulo 3: Ángulo $56.05^\circ$, hipotenusa $2$ m. - Lado opuesto $= \sin 56.05^\circ \times 2 = 0.829 \times 2 = 1.658$ m. - Lado adyacente $= \cos 56.05^\circ \times 2 = 0.559 \times 2 = 1.118$ m. 5. Triángulo 4: Catetos $7$ dm y $12$ dm. - Hipotenusa $= \sqrt{7^2 + 12^2} = \sqrt{49 + 144} = \sqrt{193} \approx 13.89$ dm. - Ángulo opuesto a $7$ dm: $$\tan \theta = \frac{7}{12} = 0.583, \quad \theta = \arctan(0.583) \approx 30.2^\circ.$$ 6. Triángulo 5: Lado $18$ mm, ángulo $34^\circ$. - Si $18$ mm es el cateto adyacente, hipotenusa $= \frac{18}{\cos 34^\circ} = \frac{18}{0.829} = 21.7$ mm. - Cateto opuesto $= \sin 34^\circ \times 21.7 = 0.559 \times 21.7 = 12.13$ mm. 7. Triángulo 6: Catetos $8.5$ m y $6.96$ m. - Hipotenusa $= \sqrt{8.5^2 + 6.96^2} = \sqrt{72.25 + 48.44} = \sqrt{120.69} \approx 10.99$ m. - Ángulo opuesto a $6.96$ m: $$\tan \theta = \frac{6.96}{8.5} = 0.819, \quad \theta = \arctan(0.819) \approx 39.1^\circ.$$ 8. Problema 3a: Cuerda $20$ m, ángulo $35^\circ$, hallar altura $h$. - Altura $h = 20 \times \sin 35^\circ = 20 \times 0.574 = 11.48$ m. 9. Problema 3b: Altura árbol $5.5$ m, ángulo $\beta = 60^\circ$, distancia $d$. - Usamos $\tan 60^\circ = \frac{5.5}{d}$. - $d = \frac{5.5}{\tan 60^\circ} = \frac{5.5}{\sqrt{3}} = \frac{5.5}{1.732} = 3.17$ m. Respuesta final: - Triángulo 1: hipotenusa $28.87$ m, cateto opuesto $14.44$ m. - Triángulo 2: otro cateto $10$ cm, ángulo $48.1^\circ$. - Triángulo 3: cateto opuesto $1.658$ m, cateto adyacente $1.118$ m. - Triángulo 4: hipotenusa $13.89$ dm, ángulo $30.2^\circ$. - Triángulo 5: hipotenusa $21.7$ mm, cateto opuesto $12.13$ mm. - Triángulo 6: hipotenusa $10.99$ m, ángulo $39.1^\circ$. - Problema 3a: altura $11.48$ m. - Problema 3b: distancia $3.17$ m.