1. Vamos determinar os valores das funções trigonométricas inversas dadas. Para isso, usamos as definições das funções arco seno (arcsin), arco cosseno (arccos) e arco tangente (arctan), que retornam ângulos cujos senos, cossenos e tangentes são os valores dados. 2. Calcular arcsin(−1/2): Sabemos que $\sin(\frac{-\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. Como o arco seno retorna ângulos no intervalo $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, temos: $$\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$$ 3. Calcular arccos(−1/2): Sabemos que $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$. Como o arco cosseno retorna ângulos no intervalo $[0, \pi]$, temos: $$\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$$ 4. Calcular arccos($-\frac{\sqrt{2}}{2}$): Sabemos que $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Assim, $$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$$ 5. Calcular arctan(−1): Sabemos que $\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1$. O arco tangente retorna ângulos em $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Portanto, $$\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$$ --- 6. Seja $y = \arcsin(\frac{1}{3})$. Vamos encontrar $\cos(y)$, $\tan(y)$, $\cotg(y)$, $\sec(y)$ e $\csc(y)$. - Sabendo que $\sin(y) = \frac{1}{3}$. - Usamos a identidade: $$\cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$ - O $\tan(y)$ é: $$\tan(y) = \frac{\sin(y)}{\cos(y)} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$ - O $\cotg(y)$ é o inverso da tangente: $$\cotg(y) = \frac{1}{\tan(y)} = 2\sqrt{2}$$ - O $\sec(y)$ é o inverso do cosseno: $$\sec(y) = \frac{1}{\cos(y)} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$$ - O $\cosec(y)$ é o inverso do seno: $$\csc(y) = \frac{1}{\sin(y)} = 3$$ --- 7. Seja $y = \mathrm{arccotg}\left(-\frac{1}{2}\right)$. Note que $\arccotg$ é o arco cotangente. Para simplificar, vamos transformar em tangente usando $\tan(y) = \frac{1}{\cotg(y)}$: $$\tan(y) = -2$$ - Para $\cotg(y) = -\frac{1}{2}$ com $y$ no intervalo $(0, \pi)$ (normalmente para $\arccotg$), encontramos o ângulo cuja tangente é $-2$. - Usando arctan: $$y = \pi - \arctan(2)$$ Agora calculamos as funções trigonométricas: - $\sin(y)$ e $\cos(y)$ usando fórmula para $\tan(y)$: $$\sin(y) = \frac{\tan(y)}{\sqrt{1+\tan^2(y)}} = \frac{-2}{\sqrt{1+4}} = \frac{-2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$$ $$\cos(y) = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2(y)}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$ - $\tan(y) = -2$ (já conhecido). - $\sec(y) = \frac{1}{\cos(y)} = \sqrt{5}$. - $\csc(y) = \frac{1}{\sin(y)} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$. --- **Resumo final:** $$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$$ $$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$$ $$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$$ $$\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$$ Para $y=\arcsin(\frac{1}{3})$: $$\cos(y) = \frac{2\sqrt{2}}{3},\quad \tan(y) = \frac{\sqrt{2}}{4},\quad \cotg(y) = 2\sqrt{2},\quad \sec(y) = \frac{3\sqrt{2}}{4},\quad \csc(y) = 3$$ Para $y=\arccotg\left(-\frac{1}{2}\right)$: $$\sin(y) = -\frac{2\sqrt{5}}{5},\quad \cos(y) = \frac{\sqrt{5}}{5},\quad \tan(y)=-2,\quad \sec(y)=\sqrt{5},\quad \csc(y) = -\frac{\sqrt{5}}{2}$$ --- **Dica para o teste:** Para calcular funções trig inversas, identifique o ângulo padrão no intervalo da função inversa que tem a razão trigonométrica dada. Para derivar funções como coseno, tangente a partir do arco seno ou arco cotangente, use identidades trigonométricas e relações fundamentais como $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ e $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.