1. Problema 4: Determinar os valores de $\arcsin(-\frac{1}{2})$, $\arccos(-\frac{1}{2})$, $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ e $\arctan(-1)$. 2. Para $\arcsin(-\frac{1}{2})$: - $\arcsin(x)$ produce um ângulo cujo seno é $x$ e o intervalo é $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. - Sabemos que $\sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$. - Portanto, $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$. 3. Para $\arccos(-\frac{1}{2})$: - $\arccos(x)$ produz um ângulo cujo cosseno é $x$ e o intervalo é $[0, \pi]$. - Sabemos que $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$. - Então, $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$. 4. Para $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$: - Sabemos que $\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. - Logo, $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$. 5. Para $\arctan(-1)$: - $\arctan(x)$ produz um ângulo cujo tangente é $x$ e o intervalo é $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. - Sabemos que $\tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$. - Logo, $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$. 6. Problema 5: Sabendo que $y = \arcsin(\frac{1}{3})$, determinar $\cos(y)$, $\tan(y)$, $\cotg(y)$, $\sec(y)$ e $\csc(y)$. 7. Porque $\sin(y) = \frac{1}{3}$, podemos usar o triângulo retângulo: - Hipotenusa = 3 - Cateto oposto = 1 - Cateto adjacente = $\sqrt{3^{2} - 1^{2}} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. 8. Assim: - $\cos(y) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. - $\tan(y) = \frac{\sin(y)}{\cos(y)} = \frac{1/3}{2\sqrt{2}/3} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ (racionalizando). - $\cotg(y) = \frac{1}{\tan(y)} = 2\sqrt{2}$. - $\sec(y) = \frac{1}{\cos(y)} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$. - $\csc(y) = \frac{1}{\sin(y)} = 3$. 9. Problema 6: Sabendo que $y = \arccotg(-\frac{1}{2})$, determinar $\sin(y)$, $\cos(y)$, $\tan(y)$, $\sec(y)$ e $\csc(y)$. 10. $\cotg(y) = -\frac{1}{2}$ indica a razão entre cateto adjacente e oposto. - Tomemos cateto adjacente = -1 (para ficar negativo) e cateto oposto = 2. - Hipotenusa = $\sqrt{(-1)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$. 11. Portanto: - $\sin(y) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. - $\cos(y) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{-1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$. - $\tan(y) = \frac{1}{\cotg(y)} = \frac{1}{-1/2} = -2$. - $\sec(y) = \frac{1}{\cos(y)} = -\sqrt{5}$. - $\csc(y) = \frac{1}{\sin(y)} = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Resposta final: - $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$ - $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$ - $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{3\pi}{4}$ - $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$ - Para $y = \arcsin(\frac{1}{3})$: $\cos(y) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan(y) = \frac{\sqrt{2}}{4}$, $\cotg(y) = 2\sqrt{2}$, $\sec(y) = \frac{3\sqrt{2}}{4}$, $\csc(y) = 3$ - Para $y = \arccotg(-\frac{1}{2})$: $\sin(y) = \frac{2\sqrt{5}}{5}$, $\cos(y) = -\frac{\sqrt{5}}{5}$, $\tan(y) = -2$, $\sec(y) = -\sqrt{5}$, $\csc(y) = \frac{\sqrt{5}}{2}$.