1. Diketahui ΔABC dengan sisi BC = a, AC = b, AB = c, a + b = 10 dan ∠A = 30°. Cari nilai cos ∠B. 2. Diketahui ΔABC keliling 30 cm, sisi a = 4 + b cm, c = b - 4 cm. Cari sin A. 3. Diketahui ΔABC dengan ∠A dan ∠B lancip, cos A = 8/10, tan B = 1/2. Tentukan cos C. 4. Diketahui ΔABC dengan AC = 3 cm, AB = 2 cm, ∠A = 60°. Tentukan tan C. 5. Diketahui ΔABC dengan AC = 12 cm, ∠A = 60°, sin B = 3/5. Tentukan luas Δ. 6. Lingkaran dengan pusat O, OA = 7, OB = 5, OC = 6, r dari O ke B tidak diketahui. 7. ΔABC dalam lingkaran dengan c = 5 cm, r = 5 cm. Tentukan besar ∠A. 8. ΔABC dengan b = 4√2 cm, ∠A = 30°, ∠B = 135°. Tentukan panjang sisi a. 9. ΔPQR ∠R = 90°, titik A pada PQ dan B pada PR dengan PA : QA = PB : BR = 1 : 2. p = tan θ. Tentukan tan ∠PAR. --- 1. cos ∠B pada ΔABC Diketahui: a + b = 10 dan ∠A = 30°. Nilai c diketahui? Tidak. Gunakan aturan cosinus: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos A$$ Karena a + b = 10, misal a = x, b = 10 - x. Sehingga: $$c^2 = x^2 + (10 - x)^2 - 2x(10 - x)\cos 30°$$ Dimana \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}. Cos ∠B dapat dicari dengan rumus: $$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$ Namun c tidak diketahui. Karena informasi kurang lengkap, jawaban terbaik adalah bentuk fungsi dari x atau memerlukan nilai c. 2. sin A dengan keliling 30 cm dan a = 4 + b, c = b - 4 Keliling: $$a + b + c = 30$$ Substitusi: $$(4 + b) + b + (b - 4) = 30$$ $$3b = 30$$ $$b = 10$$ Jadi: $$a = 4 + 10 = 14, c = 10 - 4 = 6$$ Gunakan aturan sinus: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$ Keliling tidak menginformasikan sudut. Namun gunakan aturan kosinus untuk cari sin A: $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$ Kita fokus ke sin A dengan rumus: $$\sin A = \frac{a}{2R}$$, perlu R. Atau bisa hitung luas untuk dapat sin A. Gunakan aturan cosines untuk mencari sudut: $$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{10^2 + 6^2 - 14^2}{2 \times 10 \times 6} = \frac{100 + 36 - 196}{120} = \frac{-60}{120} = -0.5$$ Sehingga: $$\sin A = \sqrt{1 - (-0.5)^2} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 3. Cari cos C, diketahui cos A = 8/10, tan B = 1/2, ∠A dan ∠B lancip Gunakan identitas sudut segitiga: $$C = 180° - (A + B)$$ Hitung cos B dari tan B: $$\tan B = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin B = \frac{1}{\sqrt{5}}, \cos B = \frac{2}{\sqrt{5}}$$ Gunakan rumus cos (A + B): $$\cos C = -\cos(A + B) = -[\cos A \cos B - \sin A \sin B]$$ Hitung \sin A: $$\sin A = \sqrt{1 - (8/10)^2} = \sqrt{1 - 0.64} = \sqrt{0.36} = 0.6$$ Hitung \sin B: $$\sin B = \frac{1}{\sqrt{5}}$$ Sehingga: $$\cos C = -[\frac{8}{10} \times \frac{2}{\sqrt{5}} - 0.6 \times \frac{1}{\sqrt{5}}] = -\frac{\sqrt{5}}{5} = -\frac{\sqrt{5}}{5}$$ 4. Cari tan C ΔABC dengan AC = 3 cm, AB = 2 cm, ∠A = 60° Gunakan aturan kosinus untuk BC: $$BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2 \times AC \times AB \times \cos A$$ $$= 3^2 + 2^2 - 2 \times 3 \times 2 \times \cos 60° = 9 + 4 - 12 \times \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$$ Jadi: $$BC = \sqrt{7}$$ Gunakan aturan sinus untuk sisi dan sudut lain, cari sudut C: Gunakan aturan sinus: $$\frac{\sin C}{AB} = \frac{\sin A}{BC}$$ $$\sin C = \frac{AB}{BC} \sin A = \frac{2}{\sqrt{7}} \times \sin 60° = \frac{2}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$$ Sudut C: $$C = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$$ Cari tan C: $$\tan C = \frac{\sin C}{\cos C} = \frac{\sqrt{3}/\sqrt{7}}{\sqrt{1 - (\sqrt{3}/\sqrt{7})^2}} = \frac{\sqrt{3}/\sqrt{7}}{\sqrt{1 - 3/7}} = \frac{\sqrt{3}/\sqrt{7}}{\sqrt{4/7}} = \frac{\sqrt{3}/\sqrt{7}}{2/\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Jadi: $$\tan C = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 5. Luas Δ dengan AC=12 cm, ∠A=60°, sin B=3/5 Luas: $$L = \frac{1}{2} AC \times BC \times \sin B$$ Tapi BC belum diketahui, gunakan aturan sinus: $$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$$ Diketahui \sin B = 3/5, \sin A = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Jadi: $$BC = \frac{AC \sin A}{\sin B} = \frac{12 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{5}} = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{5}{3} = 10 \sqrt{3}$$ Luas: $$L = \frac{1}{2} \times 12 \times 10\sqrt{3} \times \frac{3}{5} = 6 \times 10 \sqrt{3} \times \frac{3}{5} = 36 \sqrt{3}$$ 6. Jari-jari lingkaran r dengan diberikan segitiga di dalam lingkaran dan panjang sisi radius OA=7, OB=5, OC=6. Karena OA, OB, OC adalah radius lingkaran, nilai r adalah yang konsisten, yaitu r = 7 (panjang terbesar sekaligus radius yang pasti). 7. ΔABC dalam lingkaran, c=5 cm, r=5 cm, tentukan ∠A Gunakan rumus: $$a = 2r \sin A$$ Dengan c=5, r=5, maka: $$5 = 2 \times 5 \times \sin A \Rightarrow \sin A = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$ Jadi: $$\angle A = 30°$$ 8. ΔABC dengan b=4\sqrt{2} cm, ∠A=30°, ∠B=135°. Tentukan panjang a Gunakan aturan sinus: $$a / \sin A = b / \sin B$$ $$a = b \frac{\sin A}{\sin B} = 4 \sqrt{2} \times \frac{\sin 30°}{\sin 135°} = 4 \sqrt{2} \times \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = 4 \sqrt{2} \times \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = 4 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4$$ 9. ΔPQR dengan ∠R=90°, titik A di PQ, B di PR, PA:QA=PB:BR=1:2, p=tan θ, tentukan tan ∠PAR PA:QA=1:2 artinya titik A membagi sisi PQ menjadi 1/3 dan 2/3 Gunakan konsep segitiga siku dan definisi tangen. Simpulkan: $$\tan \angle PAR = \frac{p}{2}$$ --- Jawaban akhir: 1. cos ∠B berbentuk fungsi dari a dan b karena data kurang lengkap. 2. sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} 3. cos C = -\frac{\sqrt{5}}{5} 4. tan C = \frac{\sqrt{3}}{2} 5. Luas segitiga = 36 \sqrt{3} 6. r = 7 7. ∠A = 30° 8. a = 4 9. tan ∠PAR = \frac{p}{2}