1. Planteamos el problema: Tenemos el sistema de ecuaciones $$\sin x + \sin y = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$$ $$\sin x - \sin y = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$$ Queremos encontrar los valores de $x$ y $y$ que satisfacen ambas ecuaciones. 2. Sumamos las dos ecuaciones para despejar $\sin x$: $$\sin x + \sin y + \sin x - \sin y = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} + \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$$ $$2 \sin x = \frac{\sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} - 1}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$ Por lo tanto, $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 3. Restamos las dos ecuaciones para despejar $\sin y$: $$\sin x + \sin y - (\sin x - \sin y) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$$ $$2 \sin y = \frac{\sqrt{3} + 1 - \sqrt{3} + 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Por lo tanto, $$\sin y = \frac{1}{2}$$ 4. Ahora buscamos los ángulos $x$ y $y$ que cumplen: $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\sin y = \frac{1}{2}$$ 5. Recordando los valores comunes del seno en grados: - $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ - $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \frac{1}{2}$ 6. Por lo tanto, las soluciones para $x$ son $60^\circ$ y $120^\circ$, y para $y$ son $30^\circ$ y $150^\circ$. 7. La opción que coincide con estos valores es la b: $$x_1 = 60^\circ, y_1 = 30^\circ; \quad x_2 = 120^\circ, y_2 = 150^\circ$$