1. Planteamos el problema: calcular el valor de $\sin(x)$ para un ángulo dado. 2. Usamos la fórmula de la serie de Taylor para $\sin(x)$ alrededor de 0: $$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$ 3. Explicamos que esta serie es una suma infinita que aproxima el valor de $\sin(x)$ con mayor precisión al incluir más términos. 4. Calculamos los primeros términos para un valor específico de $x$ (por ejemplo, $x=\frac{\pi}{6}$): $$\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \approx \frac{\pi}{6} - \frac{\left(\frac{\pi}{6}\right)^3}{6} + \frac{\left(\frac{\pi}{6}\right)^5}{120}$$ 5. Simplificamos cada término: $$\frac{\pi}{6} \approx 0.5236$$ $$\frac{\left(0.5236\right)^3}{6} \approx \frac{0.1435}{6} = 0.0239$$ $$\frac{\left(0.5236\right)^5}{120} \approx \frac{0.0394}{120} = 0.00033$$ 6. Sumamos los términos con sus signos correspondientes: $$0.5236 - 0.0239 + 0.00033 = 0.5$$ 7. Concluimos que $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \approx 0.5$, que es el valor exacto.