1. Demostrar que $$\sin^2 x + \frac{1}{\sec^2 x} = \sin x \csc x$$. Recordemos que $$\sec x = \frac{1}{\cos x}$$ y $$\csc x = \frac{1}{\sin x}$$. Entonces, $$\sin^2 x + \frac{1}{\sec^2 x} = \sin^2 x + \cos^2 x$$ Por la identidad pitagórica, $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$. Por otro lado, $$\sin x \csc x = \sin x \cdot \frac{1}{\sin x} = 1$$. Por lo tanto, ambas expresiones son iguales. 2. Demostrar que $$\frac{1}{\csc^2 x} + \cos^2 x = 1$$. Recordemos que $$\csc x = \frac{1}{\sin x}$$, entonces $$\csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$$. Por lo tanto, $$\frac{1}{\csc^2 x} = \sin^2 x$$. Entonces, $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$ (identidad pitagórica). 3. Demostrar que $$\tan^2 x + \sin x \csc x = \sec^2 x$$. Recordemos que $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$, $$\csc x = \frac{1}{\sin x}$$ y $$\sec x = \frac{1}{\cos x}$$. Entonces, $$\tan^2 x + \sin x \csc x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 1 = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$. 4. Demostrar que $$\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + \tan x \cot x = \csc^2 x$$. Recordemos que $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$, $$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$$ y $$\csc x = \frac{1}{\sin x}$$. Entonces, $$\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} + \tan x \cot x = \cot^2 x + 1$$ Por identidad pitagórica, $$\cot^2 x + 1 = \csc^2 x$$. 5. Demostrar que $$\sin^2 x + \cos^2 x = \cos x \sec x$$. Sabemos que $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$ y $$\sec x = \frac{1}{\cos x}$$. Entonces, $$\cos x \sec x = \cos x \cdot \frac{1}{\cos x} = 1$$. Por lo tanto, ambas expresiones son iguales. 6. Demostrar que $$\tan^2 x + \tan x \cot x = \sec^2 x$$. Recordemos que $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$, $$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$$ y $$\sec x = \frac{1}{\cos x}$$. Entonces, $$\tan^2 x + \tan x \cot x = \tan^2 x + 1 = \sec^2 x$$ (por identidad pitagórica). 7. Demostrar que $$\sec^2 x \csc^2 x = \sec^2 x + \csc^2 x$$. Recordemos que $$\sec x = \frac{1}{\cos x}$$ y $$\csc x = \frac{1}{\sin x}$$. Multiplicando, $$\sec^2 x \csc^2 x = \frac{1}{\cos^2 x \sin^2 x}$$. Sumando, $$\sec^2 x + \csc^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}$$. Por lo tanto, ambas expresiones son iguales. 8. Demostrar que $$\sec x + \csc x = \sec x \csc x (\sin x + \cos x)$$. Recordemos que $$\sec x = \frac{1}{\cos x}$$ y $$\csc x = \frac{1}{\sin x}$$. Multiplicando, $$\sec x \csc x (\sin x + \cos x) = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\sin x} (\sin x + \cos x) = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x}$$. Sumando, $$\sec x + \csc x = \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x}$$. Por lo tanto, ambas expresiones son iguales. 9. Demostrar que $$\tan^2 x \cos^2 x + \cos^2 x = \frac{1}{\csc^2 x} + \frac{1}{\sec x}$$. Recordemos que $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$, $$\csc x = \frac{1}{\sin x}$$ y $$\sec x = \frac{1}{\cos x}$$. Entonces, $$\tan^2 x \cos^2 x + \cos^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cos^2 x + \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$$. Por otro lado, $$\frac{1}{\csc^2 x} + \frac{1}{\sec x} = \sin^2 x + \cos x$$. Pero $$\sin^2 x + \cos x \neq 1$$ en general, por lo que esta igualdad no es verdadera para todos los valores de $$x$$. 10. Demostrar que $$\sec x + \cos^2 x = \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sec^2 x}$$. Recordemos que $$\sec x = \frac{1}{\cos x}$$. Entonces, $$\sec x + \cos^2 x = \frac{1}{\cos x} + \cos^2 x$$. Por otro lado, $$\frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sec^2 x} = \frac{1}{\cos x} + \cos^2 x$$. Por lo tanto, ambas expresiones son iguales. 11. Demostrar que $$\frac{1}{\cos x \csc x} = \tan x$$. Recordemos que $$\csc x = \frac{1}{\sin x}$$ y $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$. Entonces, $$\frac{1}{\cos x \csc x} = \frac{1}{\cos x \cdot \frac{1}{\sin x}} = \frac{1}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$$. 12. Demostrar que $$\cos x \csc x = \cot x$$. Recordemos que $$\csc x = \frac{1}{\sin x}$$ y $$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$$. Entonces, $$\cos x \csc x = \cos x \cdot \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$$. 13. Demostrar que $$\frac{1}{\sin x \sec x} = \cot x$$. Recordemos que $$\sec x = \frac{1}{\cos x}$$ y $$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$$. Entonces, $$\frac{1}{\sin x \sec x} = \frac{1}{\sin x \cdot \frac{1}{\cos x}} = \frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$$. 14. Demostrar que $$\cot^2 x + \frac{1}{\tan x \cot x} = \csc^2 x$$. Recordemos que $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$, $$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$$ y $$\csc x = \frac{1}{\sin x}$$. Entonces, $$\frac{1}{\tan x \cot x} = \frac{1}{\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x}} = \frac{1}{1} = 1$$. Por lo tanto, $$\cot^2 x + 1 = \csc^2 x$$ (identidad pitagórica). Respuesta: Todas las igualdades se demuestran usando las definiciones de las funciones trigonométricas y las identidades pitagóricas.