1. **Planteamiento del problema:** Dado que $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ y $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, se pide hallar $\sin \frac{\alpha}{2}$, $\cos \frac{\alpha}{2}$ y $\tan \frac{\alpha}{2}$. 2. **Datos conocidos:** - $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ (por ser $\alpha$ en el primer cuadrante y usar identidad $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$) - $\alpha = 60^\circ$ (porque $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$) 3. **Fórmulas para ángulo mitad:** \[ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}, \quad \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}, \quad \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \] 4. **Signos de las funciones:** Como $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, entonces $0^\circ < \frac{\alpha}{2} < 45^\circ$, por lo que $\sin \frac{\alpha}{2} > 0$, $\cos \frac{\alpha}{2} > 0$ y $\tan \frac{\alpha}{2} > 0$. 5. **Cálculo de $\sin \frac{\alpha}{2}$:** \[ \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{1}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \] 6. **Cálculo de $\cos \frac{\alpha}{2}$:** \[ \cos \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{3}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] 7. **Cálculo de $\tan \frac{\alpha}{2}$:** \[ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] 8. **Conclusión:** Los valores calculados son: - $\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2}$ - $\cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ - $\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ Estos coinciden con los valores dados en la solución. 9. **Sobre el triángulo y la gráfica:** El triángulo rectángulo con vértices en $O(0,0)$, $A(1,0)$ y $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ representa correctamente un ángulo $\alpha = 60^\circ$ con hipotenusa de longitud 1, cateto adyacente $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ y cateto opuesto $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Por lo tanto, la representación gráfica y la solución son correctas.