1. **Énoncé du problème :** On a un angle aigu $\alpha$ tel que $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ et $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Il faut calculer $\sin \alpha$ et $\tan \alpha$. 2. **Formule utilisée :** On utilise la relation fondamentale trigonométrique : $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ et la définition de la tangente : $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$ 3. **Calcul de $\sin \alpha$ :** $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$$ Donc : $$\sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$$ (On prend la racine positive car $\alpha$ est aigu.) 4. **Calcul de $\tan \alpha$ :** $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$$ On rationalise le dénominateur : $$\tan \alpha = \frac{1}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$$ 5. **Comparaison de $3 + 1$ et $3\sqrt{3}$ :** Calculons les valeurs approximatives : $3 + 1 = 4$ $3\sqrt{3} = 3 \times 1.732 = 5.196$ Donc : $$3 + 1 < 3\sqrt{3}$$ **Réponses finales :** $$\sin \alpha = \frac{1}{3}$$ $$\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}$$ $$3 + 1 < 3\sqrt{3}$$