1. **Énoncé du problème** : Nous avons un triangle rectangle ABC en B avec $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{3}{4}$. 2. **Formule et règles importantes** : Pour un angle $\theta$, on sait que $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$. 3. **Calcul de $\sin(\widehat{BAC})$** : $$\sin^2(\widehat{BAC}) = 1 - \cos^2(\widehat{BAC}) = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$$ Donc, $$\sin(\widehat{BAC}) = \frac{\sqrt{7}}{4}$$ 4. **Calcul de $\tan(\widehat{BAC})$** : $$\tan(\widehat{BAC}) = \frac{\sin(\widehat{BAC})}{\cos(\widehat{BAC})} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$$ 5. **Calcul des fonctions trigonométriques de $\widehat{ACB}$** : Puisque le triangle est rectangle en B, $\widehat{BAC} + \widehat{ACB} = 90^\circ$. Donc, $$\sin(\widehat{ACB}) = \cos(\widehat{BAC}) = \frac{3}{4}$$ $$\cos(\widehat{ACB}) = \sin(\widehat{BAC}) = \frac{\sqrt{7}}{4}$$ $$\tan(\widehat{ACB}) = \frac{\sin(\widehat{ACB})}{\cos(\widehat{ACB})} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}}$$ 6. **Calcul de la longueur AC sachant que AB = 5 cm** : On utilise le fait que $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB}{AC}$ car $\cos$ est adjacent sur hypoténuse. Donc, $$AC = \frac{AB}{\cos(\widehat{BAC})} = \frac{5}{\frac{3}{4}} = \frac{5 \times 4}{3} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67 \text{ cm}$$ **Réponse finale** : - $\sin(\widehat{BAC}) = \frac{\sqrt{7}}{4}$ - $\tan(\widehat{BAC}) = \frac{\sqrt{7}}{3}$ - $\sin(\widehat{ACB}) = \frac{3}{4}$, $\cos(\widehat{ACB}) = \frac{\sqrt{7}}{4}$, $\tan(\widehat{ACB}) = \frac{3}{\sqrt{7}}$ - $AC = \frac{20}{3} \approx 6{,}67$ cm **Oui, on utilise bien le théorème de Pythagore implicitement pour relier les côtés et les angles.**