1. **Énoncé du problème :** Comprendre et appliquer les lois des sinus et des cosinus en trigonométrie. 2. **Présentation des lois :** - Loi des sinus : $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ où $a,b,c$ sont les longueurs des côtés d'un triangle et $A,B,C$ les angles opposés. - Loi des cosinus : $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$ (et formules similaires pour $a^2$ et $b^2$). 3. **Explications importantes :** - La loi des sinus est utile pour trouver un côté ou un angle quand on connaît un angle et son côté opposé, et un autre angle ou côté. - La loi des cosinus est utile pour trouver un côté quand on connaît deux côtés et l'angle compris, ou un angle quand on connaît les trois côtés. 4. **Exemple 1 (loi des sinus) :** Dans un triangle, $A=30^\circ$, $B=45^\circ$, et $a=10$. Trouver $b$. - Calcul de $C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ$. - Application : $$\frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ} \Rightarrow b = \frac{10 \sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \times 0.7071}{0.5} = 14.14$$. 5. **Exemple 2 (loi des cosinus) :** Dans un triangle, $a=7$, $b=9$, et $C=60^\circ$. Trouver $c$. - Application : $$c^2 = 7^2 + 9^2 - 2 \times 7 \times 9 \times \cos 60^\circ = 49 + 81 - 126 \times 0.5 = 130 - 63 = 67$$. - Donc $$c = \sqrt{67} \approx 8.19$$. 6. **Exercice corrigé :** Dans un triangle, $a=8$, $b=6$, $c=10$. Trouver l'angle $C$. - Utilisation de la loi des cosinus : $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$ - $$10^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \times 8 \times 6 \cos C$$ - $$100 = 64 + 36 - 96 \cos C$$ - $$100 = 100 - 96 \cos C \Rightarrow 96 \cos C = 0 \Rightarrow \cos C = 0$$ - Donc $$C = 90^\circ$$. 7. **Résumé :** - Utilisez la loi des sinus pour des cas avec angles et côtés opposés connus. - Utilisez la loi des cosinus pour des cas avec deux côtés et l'angle compris ou trois côtés connus.