1. **Énoncé du problème Q1 :** Relier deux alignements A₁₁ et I₂C par deux courbes circulaires simples et un pont droit T₂T₃. Données : - Gisement A₁₁ = 40° - Gisement AB = 90° - Gisement BC = 50° - Gisement ligne centrale rivière = 35° - Chaînage point A = 3600 m - Longueur T₂T₃ = 150 m - AX = 420 m - MX = 90 m - AB = 900 m - M centre de T₂T₃, pont perpendiculaire à la rivière. 2. **Calcul des rayons R₁ et R₂ des courbes circulaires simples (Q1.i) :** - L'angle entre A₁₁ (40°) et AB (90°) est $\Delta\theta_1 = 90° - 40° = 50°$. - L'angle entre AB (90°) et BC (50°) est $\Delta\theta_2 = 90° - 50° = 40°$. - Rayon R₁ est calculé par la formule $R = \frac{L}{2 \tan(\frac{\Delta\theta}{2})}$ où L est la longueur de la tangente. - Pour R₁, la tangente est $AX = 420$ m. $$R_1 = \frac{420}{2 \tan(\frac{50°}{2})} = \frac{420}{2 \tan(25°)} = \frac{420}{2 \times 0.4663} = \frac{420}{0.9326} \approx 450.3\,m$$ - Pour R₂, la tangente est $MX = 90$ m. $$R_2 = \frac{90}{2 \tan(\frac{40°}{2})} = \frac{90}{2 \tan(20°)} = \frac{90}{2 \times 0.3640} = \frac{90}{0.728} \approx 123.6\,m$$ 3. **Calcul des chaînages T₁, T₂, T₃, T₄ (Q1.ii) :** - Chaînage T₁ = Chaînage A + AX = 3600 + 420 = 4020 m - Chaînage T₂ = Chaînage T₁ + longueur arc de la première courbe. L'arc de la courbe 1 est $L_1 = R_1 \times \Delta\theta_1$ en radians. Convertir $\Delta\theta_1 = 50° = \frac{50 \pi}{180} = 0.8727$ rad. $$L_1 = 450.3 \times 0.8727 = 393.2\,m$$ Donc, $$T_2 = 4020 + 393.2 = 4413.2\,m$$ - Chaînage T₃ = T₂ + longueur droite T₂T₃ = 4413.2 + 150 = 4563.2 m - Chaînage T₄ = T₃ + longueur arc de la deuxième courbe. Convertir $\Delta\theta_2 = 40° = \frac{40 \pi}{180} = 0.6981$ rad. $$L_2 = R_2 \times \Delta\theta_2 = 123.6 \times 0.6981 = 86.3\,m$$ Donc, $$T_4 = 4563.2 + 86.3 = 4649.5\,m$$ --- 4. **Énoncé du problème Q2 :** Relier deux alignements droits AB et BC par une courbe circulaire simple passant par P. Données : - Gisement AB = 70° - Gisement BC = 140° - BP = 120 m - Angle ABP = 40° - Chaînage B = 3000 m 5. **Calcul du rayon de la courbe (Q2.i) :** - L'angle entre AB et BC est $\Delta\theta = 140° - 70° = 70°$. - Le point P est sur la courbe, avec BP = 120 m et angle ABP = 40°. - Utiliser la relation trigonométrique dans le triangle formé par B, P et le centre O de la courbe. - Rayon $R = \frac{BP}{\sin(\alpha)}$ où $\alpha = 90° - \frac{\Delta\theta}{2} = 90° - 35° = 55°$. $$R = \frac{120}{\sin(55°)} = \frac{120}{0.8192} = 146.5\,m$$ 6. **Calcul des chaînages des points de raccordement (Q2.ii) :** - La longueur de la tangente $T = R \tan(\frac{\Delta\theta}{2}) = 146.5 \times \tan(35°) = 146.5 \times 0.7002 = 102.5$ m - Chaînage T₁ = B - T = 3000 - 102.5 = 2897.5 m - Chaînage T₂ = B + T = 3000 + 102.5 = 3102.5 m --- **Réponses finales :** - Q1.i : $R_1 \approx 450.3$ m, $R_2 \approx 123.6$ m - Q1.ii : $T_1 = 4020$ m, $T_2 = 4413.2$ m, $T_3 = 4563.2$ m, $T_4 = 4649.5$ m - Q2.i : $R \approx 146.5$ m - Q2.ii : $T_1 = 2897.5$ m, $T_2 = 3102.5$ m