1. Bài toán yêu cầu tìm cực trị của hàm số $$z = f(x,y) = x^2 + xy + y^2 + x - y + 1$$. 2. Để tìm cực trị, ta cần tính các đạo hàm riêng bậc nhất và giải hệ phương trình đạo hàm riêng bằng 0: $$f_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + y + 1$$ $$f_y = \frac{\partial z}{\partial y} = x + 2y - 1$$ 3. Giải hệ: $$\begin{cases} 2x + y + 1 = 0 \\ x + 2y - 1 = 0 \end{cases}$$ Từ phương trình thứ nhất: $$y = -2x - 1$$ Thay vào phương trình thứ hai: $$x + 2(-2x - 1) - 1 = 0 \Rightarrow x - 4x - 2 - 1 = 0 \Rightarrow -3x - 3 = 0 \Rightarrow x = -1$$ Thay lại vào $$y = -2x - 1$$: $$y = -2(-1) - 1 = 2 - 1 = 1$$ 4. Tính giá trị hàm số tại điểm $$(-1,1)$$: $$z = (-1)^2 + (-1)(1) + (1)^2 + (-1) - 1 + 1 = 1 - 1 + 1 - 1 - 1 + 1 = 0$$ 5. Kiểm tra loại cực trị bằng ma trận Hessian: $$f_{xx} = 2, \quad f_{yy} = 2, \quad f_{xy} = f_{yx} = 1$$ Tính định thức Hessian: $$D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \times 2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 > 0$$ Và $$f_{xx} = 2 > 0$$ nên điểm $$(-1,1)$$ là điểm cực tiểu. 6. Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm $$(-1,1)$$ với giá trị cực tiểu là $$0$$. Đáp án đúng là B.