1. Planteamos el problema: Tenemos una escala arbitraria A con punto de fusión del hielo en $-20A$ y punto de ebullición del agua en $180A$. Queremos encontrar la temperatura en Fahrenheit donde ambas escalas coinciden. 2. Sabemos que en la escala Fahrenheit, el punto de fusión del hielo es 32°F y el punto de ebullición del agua es 212°F. 3. La relación entre la escala A y Fahrenheit es lineal, por lo que podemos usar la fórmula de conversión: $$F = mA + b$$ Donde $m$ es la pendiente y $b$ la ordenada al origen. 4. Usamos los puntos dados para encontrar $m$ y $b$: Para $A = -20$, $F = 32$: $$32 = m(-20) + b$$ Para $A = 180$, $F = 212$: $$212 = m(180) + b$$ 5. Restamos las dos ecuaciones para eliminar $b$: $$212 - 32 = m(180 - (-20))$$ $$180 = m(200)$$ $$m = \frac{180}{200} = 0.9$$ 6. Sustituimos $m$ en la primera ecuación para encontrar $b$: $$32 = 0.9(-20) + b$$ $$32 = -18 + b$$ $$b = 50$$ 7. La fórmula de conversión es: $$F = 0.9A + 50$$ 8. Para encontrar la temperatura donde ambas escalas indican lo mismo, igualamos $F = A$: $$A = 0.9A + 50$$ $$A - 0.9A = 50$$ $$0.1A = 50$$ $$A = 500$$ 9. Entonces, la temperatura en Fahrenheit es: $$F = A = 500$$ Respuesta final: La temperatura en que ambas escalas indican lo mismo es 500°F.