1. El problema nos pide verificar si la igualdad $ (A \cup B) \cap \big[(A \cup B) \cup \overline{B}\big] = \overline{B} $ se cumple. 2. Recordemos algunas propiedades importantes de conjuntos: - $A \cup B$ es la unión de $A$ y $B$, es decir, todos los elementos que están en $A$, en $B$ o en ambos. - $\overline{B}$ es el complemento de $B$, es decir, todos los elementos que no están en $B$. - La intersección $\cap$ toma los elementos comunes a ambos conjuntos. - La unión $\cup$ toma todos los elementos que están en cualquiera de los conjuntos. 3. Simplificamos la expresión paso a paso: Primero, observamos la parte dentro del corchete: $$ (A \cup B) \cup \overline{B} $$ Como $B \cup \overline{B}$ es el conjunto universal $U$, entonces: $$ (A \cup B) \cup \overline{B} = A \cup (B \cup \overline{B}) = A \cup U = U $$ 4. Ahora la expresión original queda: $$ (A \cup B) \cap U $$ La intersección con el conjunto universal $U$ no cambia el conjunto, por lo que: $$ (A \cup B) \cap U = A \cup B $$ 5. Por lo tanto, la expresión original es equivalente a $A \cup B$, no a $\overline{B}$. 6. Concluimos que la igualdad $$ (A \cup B) \cap \big[(A \cup B) \cup \overline{B}\big] = \overline{B} $$ no se cumple en general, ya que el lado izquierdo es $A \cup B$ y el derecho es $\overline{B}$, que son conjuntos diferentes. Respuesta final: La igualdad no se cumple.