1. Állítsuk fel a feladatot: Két szám szorzata 175, és meg kell találni a legnagyobb közös osztójukat (LKKT). 2. Jelöljük a két számot $a$ és $b$-vel, tehát $a \times b = 175$. 3. A legnagyobb közös osztó (LKKT) a két szám közös osztóinak legnagyobb eleme. 4. Először bontsuk fel 175 prímtényezőkre: $$175 = 5^2 \times 7$$ 5. Mivel $a$ és $b$ szorzata 175, a legnagyobb közös osztójuk legfeljebb 175 lehet, de mivel a szorzatuk 175, a legnagyobb közös osztó nem lehet nagyobb, mint a kisebbik szám. 6. A legnagyobb közös osztó akkor a legnagyobb, ha az egyik szám osztható vele, és a másik is úgy, hogy a szorzatuk 175 marad. 7. Vizsgáljuk meg a 175 osztóit: 1, 5, 7, 25, 35, 175. 8. Próbáljuk meg, hogy a legnagyobb közös osztó 35 legyen: Ha $\gcd(a,b) = 35$, akkor írhatjuk $a = 35m$, $b = 35n$, ahol $m$ és $n$ relatív prímek (LKKT=1). 9. Ekkor $a \times b = 35m \times 35n = 1225 mn = 175$, tehát $mn = \frac{175}{1225} = \frac{1}{7}$, ami nem egész szám, így nem jó. 10. Próbáljuk meg a következő legnagyobb osztót, 25-öt: $ a = 25m$, $b = 25n$, $a \times b = 25m \times 25n = 625 mn = 175$, így $mn = \frac{175}{625} = \frac{7}{25}$, nem egész, nem jó. 11. Próbáljuk meg 7-et: $a = 7m$, $b = 7n$, $a \times b = 49 mn = 175$, így $mn = \frac{175}{49} = \frac{25}{7}$, nem egész, nem jó. 12. Próbáljuk meg 5-öt: $a = 5m$, $b = 5n$, $a \times b = 25 mn = 175$, így $mn = \frac{175}{25} = 7$, ami egész. 13. Mivel $m$ és $n$ relatív prímek és $mn=7$, a lehetőségek: $(m,n) = (1,7)$ vagy $(7,1)$. 14. Tehát a két szám lehet $a=5 \times 1=5$, $b=5 \times 7=35$ vagy fordítva. 15. Így a legnagyobb közös osztójuk $5$. Válasz: A két szám legnagyobb közös osztója 5.