1. **Énoncé du problème :** Nous avons une série statistique bidimensionnelle avec des classes d'ancienneté $x$ et des classes de salaires $y$. Les effectifs sont donnés dans un tableau. Nous devons : - Représenter le nuage de points $(x_i, y_i)$ où $x_i$ et $y_i$ sont les centres des classes. - Calculer les distributions marginales, les moyennes $\bar{x}$, $\bar{y}$, les écarts-types $\sigma_x$, $\sigma_y$. - Calculer la covariance $\mathrm{cov}(x,y)$. 2. **Calcul des centres des classes :** - Ancienneté $x$ : - $[0,2] \to 1$ - $[2,4] \to 3$ - $[4,6] \to 5$ - $[6,10] \to 8$ - $[10,15] \to 12.5$ - Salaire $y$ : - $[300,400] \to 350$ - $[400,500] \to 450$ - $[500,600] \to 550$ - $[600,900] \to 750$ - $[900,1500] \to 1200$ 3. **Effectifs totaux par case (tableau) :** \begin{array}{c|ccccc} y \backslash x & 1 & 3 & 5 & 8 & 12.5 \\ \hline 350 & 5 & 2 & 2 & 1 & 0 \\ 450 & 3 & 5 & 3 & 4 & 2 \\ 550 & 2 & 4 & 1 & 5 & 6 \\ 750 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 1200 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} 4. **Calcul des effectifs marginaux de $x$ (somme par colonne) :** - $n_1 = 5+3+2+0+0 = 10$ - $n_3 = 2+5+4+0+0 = 11$ - $n_5 = 2+3+1+1+0 = 7$ - $n_8 = 1+4+5+1+0 = 11$ - $n_{12.5} = 0+2+6+2+2 = 12$ 5. **Calcul de la moyenne $\bar{x}$ :** $$\bar{x} = \frac{1\times10 + 3\times11 + 5\times7 + 8\times11 + 12.5\times12}{10+11+7+11+12} = \frac{10 + 33 + 35 + 88 + 150}{51} = \frac{316}{51} \approx 6.20$$ 6. **Calcul de la variance $\sigma_x^2$ :** $$\sigma_x^2 = \frac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{N}$$ Calculons chaque terme : - $(1 - 6.20)^2 = 27.04$ donc $10 \times 27.04 = 270.4$ - $(3 - 6.20)^2 = 10.24$ donc $11 \times 10.24 = 112.64$ - $(5 - 6.20)^2 = 1.44$ donc $7 \times 1.44 = 10.08$ - $(8 - 6.20)^2 = 3.24$ donc $11 \times 3.24 = 35.64$ - $(12.5 - 6.20)^2 = 39.69$ donc $12 \times 39.69 = 476.28$ Somme = $270.4 + 112.64 + 10.08 + 35.64 + 476.28 = 905.04$ $$\sigma_x^2 = \frac{905.04}{51} \approx 17.75 \Rightarrow \sigma_x \approx 4.21$$ 7. **Calcul des effectifs marginaux de $y$ (somme par ligne) :** - $n_{350} = 5+2+2+1+0 = 10$ - $n_{450} = 3+5+3+4+2 = 17$ - $n_{550} = 2+4+1+5+6 = 18$ - $n_{750} = 0+0+1+1+2 = 4$ - $n_{1200} = 0+0+0+0+2 = 2$ 8. **Calcul de la moyenne $\bar{y}$ :** $$\bar{y} = \frac{350\times10 + 450\times17 + 550\times18 + 750\times4 + 1200\times2}{51} = \frac{3500 + 7650 + 9900 + 3000 + 2400}{51} = \frac{26450}{51} \approx 518.63$$ 9. **Calcul de la variance $\sigma_y^2$ :** Calculons chaque terme : - $(350 - 518.63)^2 = 28292.5$ donc $10 \times 28292.5 = 282925$ - $(450 - 518.63)^2 = 4693.5$ donc $17 \times 4693.5 = 79789.5$ - $(550 - 518.63)^2 = 992.5$ donc $18 \times 992.5 = 17865$ - $(750 - 518.63)^2 = 53300.5$ donc $4 \times 53300.5 = 213202$ - $(1200 - 518.63)^2 = 463011$ donc $2 \times 463011 = 926022$ Somme = $282925 + 79789.5 + 17865 + 213202 + 926022 = 1,599,803.5$ $$\sigma_y^2 = \frac{1,599,803.5}{51} \approx 31370.27 \Rightarrow \sigma_y \approx 177.07$$ 10. **Calcul de la covariance $\mathrm{cov}(x,y)$ :** $$\mathrm{cov}(x,y) = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_j - \bar{y}) n_{ij}}{N}$$ Calculons $\sum x_i y_j n_{ij}$ : - $350 \times (5\times1 + 2\times3 + 2\times5 + 1\times8 + 0\times12.5) = 350 \times (5 + 6 + 10 + 8 + 0) = 350 \times 29 = 10150$ - $450 \times (3\times1 + 5\times3 + 3\times5 + 4\times8 + 2\times12.5) = 450 \times (3 + 15 + 15 + 32 + 25) = 450 \times 90 = 40500$ - $550 \times (2\times1 + 4\times3 + 1\times5 + 5\times8 + 6\times12.5) = 550 \times (2 + 12 + 5 + 40 + 75) = 550 \times 134 = 73700$ - $750 \times (0\times1 + 0\times3 + 1\times5 + 1\times8 + 2\times12.5) = 750 \times (0 + 0 + 5 + 8 + 25) = 750 \times 38 = 28500$ - $1200 \times (0\times1 + 0\times3 + 0\times5 + 0\times8 + 2\times12.5) = 1200 \times 25 = 30000$ Somme totale = $10150 + 40500 + 73700 + 28500 + 30000 = 182850$ On a $\sum n_{ij} = 51$, $\bar{x} = 6.20$, $\bar{y} = 518.63$ $$\mathrm{cov}(x,y) = \frac{182850}{51} - 6.20 \times 518.63 = 3585.29 - 3215.57 = 369.72$$ **Réponses finales :** - Moyenne ancienneté $\bar{x} \approx 6.20$ - Écart-type ancienneté $\sigma_x \approx 4.21$ - Moyenne salaire $\bar{y} \approx 518.63$ - Écart-type salaire $\sigma_y \approx 177.07$ - Covariance $\mathrm{cov}(x,y) \approx 369.72$ --- **Slug:** statistiques salaires **Subject:** statistiques **Desmos:** {"latex":"","features":{"intercepts":true,"extrema":true}} **q_count:** 1