1. **Énoncé du problème :** Une entreprise prélève un échantillon de 235 roulements pour estimer la proportion $p$ de roulements dont la surface est plus rugueuse que les spécifications. (a) L'intervalle de confiance donné est $[0{,}0411; 0{,}0951]$. Il faut calculer le niveau de confiance $(1-\alpha)$ associé. (b) En utilisant ce niveau de confiance, déterminer la taille d'échantillon nécessaire pour une marge d'erreur de 2,2%. 2. **Formules et règles importantes :** - L'intervalle de confiance pour une proportion $p$ est donné par: $$\hat{p} \pm z_{\frac{\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$ - $\hat{p}$ est la proportion estimée dans l'échantillon. - $z_{\frac{\alpha}{2}}$ est la valeur critique de la loi normale standard associée au niveau de confiance. - La marge d'erreur $E = z_{\frac{\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$. - Pour la taille d'échantillon $n$ avec marge d'erreur $E$: $$n = \frac{z_{\frac{\alpha}{2}}^2 \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}$$ 3. **Calculs pour (a) :** - La borne inférieure est $0{,}0411$, la borne supérieure $0{,}0951$. - La proportion estimée $\hat{p}$ est le centre de l'intervalle: $$\hat{p} = \frac{0{,}0411 + 0{,}0951}{2} = 0{,}0681$$ - La marge d'erreur $E$ est la moitié de la largeur de l'intervalle: $$E = \frac{0{,}0951 - 0{,}0411}{2} = 0{,}027$$ - On connaît $n=235$, donc: $$E = z_{\frac{\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \Rightarrow z_{\frac{\alpha}{2}} = \frac{E}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}}$$ - Calcul du dénominateur: $$\sqrt{\frac{0{,}0681 \times (1 - 0{,}0681)}{235}} = \sqrt{\frac{0{,}0681 \times 0{,}9319}{235}} = \sqrt{\frac{0{,}0635}{235}} = \sqrt{0{,}000270} = 0{,}01643$$ - Donc: $$z_{\frac{\alpha}{2}} = \frac{0{,}027}{0{,}01643} \approx 1{,}643$$ - Le niveau de confiance correspond à $1-\alpha = 2 \times \Phi(z_{\frac{\alpha}{2}}) - 1$ où $\Phi$ est la fonction de répartition de la loi normale. - Pour $z=1{,}643$, $\Phi(1{,}643) \approx 0{,}9495$ donc: $$1-\alpha = 2 \times 0{,}9495 - 1 = 0{,}899 = 89{,}9\%$$ 4. **Calculs pour (b) :** - On veut une marge d'erreur $E = 0{,}022$ (2,2%) avec le même niveau de confiance, donc $z_{\frac{\alpha}{2}} = 1{,}643$. - La taille d'échantillon nécessaire est: $$n = \frac{(1{,}643)^2 \times 0{,}0681 \times (1 - 0{,}0681)}{(0{,}022)^2}$$ - Calcul du numérateur: $$1{,}643^2 = 2{,}699$$ $$0{,}0681 \times 0{,}9319 = 0{,}0635$$ $$2{,}699 \times 0{,}0635 = 0{,}1713$$ - Calcul du dénominateur: $$0{,}022^2 = 0{,}000484$$ - Donc: $$n = \frac{0{,}1713}{0{,}000484} \approx 354$$ **Réponses finales :** - (a) Le niveau de confiance est environ **89,9%**. - (b) La taille d'échantillon nécessaire est environ **354 roulements**.