1. **Énoncé du problème :** Une entreprise prélève un échantillon de taille $n=235$ pour estimer la proportion $p$ des roulements à billes dont la surface est plus rugueuse que les spécifications. 2. **Calcul du niveau de confiance à partir de l'intervalle de confiance donné :** L'intervalle de confiance est donné entre 4.11% et 9.51%, soit $[0.0411, 0.0951]$. 3. **Formule de l'intervalle de confiance pour une proportion :** $$\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$ avec $\hat{p}$ la proportion estimée, $z_{\alpha/2}$ la valeur critique de la loi normale centrée réduite, et $n$ la taille de l'échantillon. 4. **Calcul de la proportion estimée $\hat{p}$ :** $$\hat{p} = \frac{0.0411 + 0.0951}{2} = 0.0681$$ 5. **Calcul de la marge d'erreur $E$ :** $$E = 0.0951 - 0.0681 = 0.0270$$ 6. **Calcul de $z_{\alpha/2}$ :** $$z_{\alpha/2} = \frac{E}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}} = \frac{0.0270}{\sqrt{\frac{0.0681 \times (1-0.0681)}{235}}}$$ Calculons le dénominateur : $$\sqrt{\frac{0.0681 \times 0.9319}{235}} = \sqrt{\frac{0.06344}{235}} = \sqrt{0.000270} = 0.01643$$ Donc : $$z_{\alpha/2} = \frac{0.0270}{0.01643} = 1.6439$$ 7. **Calcul du niveau de confiance $(1-\alpha)$ :** Le niveau de confiance correspond à la probabilité que la variable normale standard soit dans $[-z_{\alpha/2}, z_{\alpha/2}]$ : $$1-\alpha = P(-z_{\alpha/2} \leq Z \leq z_{\alpha/2}) = 2\Phi(z_{\alpha/2}) - 1$$ avec $\Phi$ la fonction de répartition de la loi normale standard. En utilisant une table ou calculatrice : $$\Phi(1.6439) \approx 0.9498$$ Donc : $$1-\alpha = 2 \times 0.9498 - 1 = 0.8996$$ --- 8. **Calcul de la taille d'échantillon nécessaire pour une précision de 2.2% :** On veut une marge d'erreur $E = 0.022$ avec le même niveau de confiance $1-\alpha = 0.8996$ donc $z_{\alpha/2} = 1.6439$. Formule pour la taille d'échantillon : $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \times \hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}$$ Calcul : $$n = \frac{(1.6439)^2 \times 0.0681 \times 0.9319}{0.022^2} = \frac{2.701 \times 0.06344}{0.000484} = \frac{0.1713}{0.000484} = 354.0$$ 9. **Arrondi :** On arrondit à l'entier supérieur pour garantir la précision : $$n = 355$$ **Remarque :** La réponse donnée dans l'énoncé est 120, ce qui semble incorrect selon les calculs standards. --- **Réponses finales :** - a) Niveau de confiance : $0.8996$ - b) Taille d'échantillon nécessaire : $355$