1. Énoncé du problème : Nous avons un échantillon de 15 mesures du taux de protéine : 152, 148, 139, 135, 143, 130, 143, 144, 138, 137, 140, 148, 142, 135, 145. Nous devons calculer la moyenne, la variance, puis l'intervalle de confiance à 95 % de la moyenne dans la population. 2. Formules importantes : - La moyenne $\bar{x}$ est donnée par $$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$$ - La variance $s^2$ de l'échantillon est $$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$$ - L'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne est $$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$$ avec $t_{\alpha/2, n-1}$ la valeur critique de la loi de Student à $n-1$ degrés de liberté. 3. Calcul de la moyenne : $$\bar{x} = \frac{152 + 148 + 139 + 135 + 143 + 130 + 143 + 144 + 138 + 137 + 140 + 148 + 142 + 135 + 145}{15}$$ $$= \frac{2179}{15} = 145.27$$ 4. Calcul de la variance : Calculons chaque $(x_i - \bar{x})^2$ puis leur somme : $(152 - 145.27)^2 = 45.17$ $(148 - 145.27)^2 = 7.45$ $(139 - 145.27)^2 = 39.32$ $(135 - 145.27)^2 = 105.49$ $(143 - 145.27)^2 = 5.15$ $(130 - 145.27)^2 = 232.37$ $(143 - 145.27)^2 = 5.15$ $(144 - 145.27)^2 = 1.61$ $(138 - 145.27)^2 = 52.83$ $(137 - 145.27)^2 = 68.44$ $(140 - 145.27)^2 = 27.77$ $(148 - 145.27)^2 = 7.45$ $(142 - 145.27)^2 = 10.69$ $(135 - 145.27)^2 = 105.49$ $(145 - 145.27)^2 = 0.07$ Somme totale = 713.95 Donc $$s^2 = \frac{713.95}{15 - 1} = \frac{713.95}{14} = 51.00$$ 5. Calcul de l'intervalle de confiance à 95 % : Pour $n=15$, les degrés de liberté sont $14$. La valeur critique $t_{0.025,14} \approx 2.145$. L'erreur standard est $$SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{51.00}}{\sqrt{15}} = \frac{7.14}{3.87} = 1.85$$ L'intervalle de confiance est donc $$145.27 \pm 2.145 \times 1.85 = 145.27 \pm 3.97$$ Ce qui donne $$[141.30, 149.24]$$ 6. Conclusion : La moyenne estimée du taux de protéine est $145.27$ avec une variance de $51.00$. L'intervalle de confiance à 95 % pour la moyenne dans la population est environ $[141.30, 149.24]$. 7. Remarque sur la variance combinée $S^2$ et le test $t$ : Pour comparer deux moyennes indépendantes, on calcule la variance combinée $S^2$ comme une moyenne pondérée des variances des deux échantillons : $$S^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$$ Cette variance combinée est utilisée pour calculer la statistique $t$ : $$t = \frac{|m_1 - m_2|}{S \sqrt{\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}}}$$ qui suit une loi de Student avec $n_1 + n_2 - 2$ degrés de liberté. Cela permet de tester si les deux moyennes sont significativement différentes.