1. **Énoncé du problème** : Nous avons une distribution des loyers annuels (en milliers) avec les effectifs correspondants. Nous devons compléter le tableau statistique, calculer les mesures de tendance centrale, mesurer la dispersion, et tracer l'histogramme et la boîte à moustaches. 2. **Complétons le tableau statistique** : - Classes : [4;6[, [6;8[, [8;10[, [10;15[, [15;20[, [20;30[ - Effectifs (n_i) : 20, 40, 80, 30, 20, 10 - Total des effectifs $N = 20+40+80+30+20+10 = 200$ - Valeurs centrales (milieux de classes) $x_i$ : - $\frac{4+6}{2} = 5$ - $\frac{6+8}{2} = 7$ - $\frac{8+10}{2} = 9$ - $\frac{10+15}{2} = 12.5$ - $\frac{15+20}{2} = 17.5$ - $\frac{20+30}{2} = 25$ - Effectifs cumulés croissants : - 20, 20+40=60, 60+80=140, 140+30=170, 170+20=190, 190+10=200 - Fréquences $f_i = \frac{n_i}{N}$ : - $\frac{20}{200}=0.10$, $\frac{40}{200}=0.20$, $\frac{80}{200}=0.40$, $\frac{30}{200}=0.15$, $\frac{20}{200}=0.10$, $\frac{10}{200}=0.05$ - Fréquences cumulées : - 0.10, 0.10+0.20=0.30, 0.30+0.40=0.70, 0.70+0.15=0.85, 0.85+0.10=0.95, 0.95+0.05=1.00 3. **Calcul de la moyenne $\bar{x}$** : $$\bar{x} = \frac{1}{N} \sum n_i x_i = \frac{1}{200}(20\times5 + 40\times7 + 80\times9 + 30\times12.5 + 20\times17.5 + 10\times25)$$ Calcul intermédiaire : - $20\times5=100$ - $40\times7=280$ - $80\times9=720$ - $30\times12.5=375$ - $20\times17.5=350$ - $10\times25=250$ Somme = $100+280+720+375+350+250=2075$ Donc : $$\bar{x} = \frac{2075}{200} = 10.375$$ 4. **Calcul du mode** : Le mode est la classe avec l'effectif le plus élevé, ici la classe [8;10[ avec 80. Mode approximé par interpolation : $$\text{Mode} = L + \frac{(f_m - f_{m-1})}{(2f_m - f_{m-1} - f_{m+1})} \times h$$ - $L=8$ (borne inférieure de la classe modale) - $f_m=80$, $f_{m-1}=40$, $f_{m+1}=30$ - $h=2$ (largeur de la classe) Calcul : $$\text{Mode} = 8 + \frac{80-40}{2\times80 - 40 - 30} \times 2 = 8 + \frac{40}{160 - 70} \times 2 = 8 + \frac{40}{90} \times 2 = 8 + 0.8889 = 8.8889$$ 5. **Calcul des quartiles** : - $Q_1$ correspond à la valeur pour laquelle la fréquence cumulée atteint 0.25 - $Q_2$ (médiane) pour 0.5 - $Q_3$ pour 0.75 Effectifs cumulés : 20, 60, 140, 170, 190, 200 - $N/4=50$, $N/2=100$, $3N/4=150$ $Q_1$ est dans la classe [6;8[ car 50 est entre 20 et 60. Interpolation linéaire : $$Q_1 = L + \frac{(N/4 - F)}{f} \times h = 6 + \frac{(50 - 20)}{40} \times 2 = 6 + \frac{30}{40} \times 2 = 6 + 1.5 = 7.5$$ $Q_2$ est dans la classe [8;10[ car 100 est entre 60 et 140. $$Q_2 = 8 + \frac{(100 - 60)}{80} \times 2 = 8 + \frac{40}{80} \times 2 = 8 + 1 = 9$$ $Q_3$ est dans la classe [10;15[ car 150 est entre 140 et 170. $$Q_3 = 10 + \frac{(150 - 140)}{30} \times 5 = 10 + \frac{10}{30} \times 5 = 10 + 1.6667 = 11.6667$$ 6. **Mesure de dispersion** : - Étendue : $30 - 4 = 26$ - Variance $\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum n_i (x_i - \bar{x})^2$ Calcul intermédiaire : - $(5 - 10.375)^2 = 28.8906$, contribution $20 \times 28.8906 = 577.812$ - $(7 - 10.375)^2 = 11.3906$, contribution $40 \times 11.3906 = 455.625$ - $(9 - 10.375)^2 = 1.8906$, contribution $80 \times 1.8906 = 151.25$ - $(12.5 - 10.375)^2 = 4.5156$, contribution $30 \times 4.5156 = 135.468$ - $(17.5 - 10.375)^2 = 50.6406$, contribution $20 \times 50.6406 = 1012.812$ - $(25 - 10.375)^2 = 213.8906$, contribution $10 \times 213.8906 = 2138.906$ Somme = $577.812 + 455.625 + 151.25 + 135.468 + 1012.812 + 2138.906 = 4471.873$ Variance : $$\sigma^2 = \frac{4471.873}{200} = 22.359$$ Écart-type : $$\sigma = \sqrt{22.359} = 4.73$$ - Intervalle interquartile : $$IQR = Q_3 - Q_1 = 11.6667 - 7.5 = 4.1667$$ 7. **Histogramme et boîte à moustaches** : - Histogramme : barres pour chaque classe avec hauteur proportionnelle à la fréquence. - Boîte à moustaches : boîte entre $Q_1$ et $Q_3$, ligne médiane à $Q_2$, moustaches aux valeurs min (4) et max (30). **Réponses finales** : - Moyenne $\bar{x} = 10.375$ - Mode $\approx 8.89$ - Quartiles $Q_1=7.5$, $Q_2=9$, $Q_3=11.67$ - Étendue = 26 - Écart-type $\sigma = 4.73$ - Intervalle interquartile $IQR = 4.17$