1. **Énoncé du problème :** Une entreprise prélève un échantillon de taille $n=235$ pour estimer la proportion $p$ des roulements à billes dont la surface est plus rugueuse que les spécifications. 2. **Données du problème :** L'intervalle de confiance donné est $[0.0411, 0.0951]$ (soit 4.11% à 9.51%). 3. **Calcul du niveau de confiance (1-\alpha) :** L'intervalle de confiance pour une proportion est donné par : $$\hat{p} \pm z_{\frac{\alpha}{2}} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$ 4. **Calcul de la proportion estimée $\hat{p}$ :** $$\hat{p} = \frac{0.0411 + 0.0951}{2} = 0.0681$$ 5. **Calcul de la marge d'erreur $E$ :** $$E = 0.0951 - 0.0681 = 0.0270$$ 6. **Calcul de $z_{\frac{\alpha}{2}}$ :** $$z_{\frac{\alpha}{2}} = \frac{E}{\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}} = \frac{0.0270}{\sqrt{\frac{0.0681 \times (1-0.0681)}{235}}}$$ Calculons le dénominateur : $$\sqrt{\frac{0.0681 \times 0.9319}{235}} = \sqrt{\frac{0.06344}{235}} = \sqrt{0.000270} = 0.01643$$ Donc : $$z_{\frac{\alpha}{2}} = \frac{0.0270}{0.01643} = 1.6439$$ 7. **Trouver le niveau de confiance :** Le niveau de confiance est donné par : $$1 - \alpha = P(-z_{\frac{\alpha}{2}} \leq Z \leq z_{\frac{\alpha}{2}}) = 2 \Phi(z_{\frac{\alpha}{2}}) - 1$$ Avec $\Phi$ la fonction de répartition de la loi normale standard. En utilisant une table ou calculatrice : $$\Phi(1.6439) \approx 0.9498$$ Donc : $$1 - \alpha = 2 \times 0.9498 - 1 = 0.8996$$ --- 8. **Calcul de la taille d'échantillon pour une précision de 2.2% (0.022) :** La formule pour la taille d'échantillon est : $$n = \left( \frac{z_{\frac{\alpha}{2}}}{E} \right)^2 \hat{p}(1-\hat{p})$$ Avec $E=0.022$ et $z_{\frac{\alpha}{2}}=1.6439$ et $\hat{p}=0.0681$ : Calculons : $$n = \left( \frac{1.6439}{0.022} \right)^2 \times 0.0681 \times 0.9319 = (74.723)^2 \times 0.06344 = 5583.7 \times 0.06344 = 354.1$$ Arrondi à l'entier supérieur : $$n = 355$$ **Réponse finale :** - a) Le niveau de confiance associé est $\boxed{0.8996}$. - b) La taille d'échantillon nécessaire est $\boxed{355}$ pour une précision de 2.2% avec ce niveau de confiance.