1. **Énoncé du problème :** Nous avons un tableau de fréquences pour deux variables discrètes : l'ancienneté $x$ en classes et le salaire $y$ en classes. On veut : - Représenter le nuage de points des centres de classes pondérés par les effectifs. - Calculer les distributions marginales, les moyennes $\bar{x}$, $\bar{y}$, les écarts-types $\sigma_x$, $\sigma_y$. - Calculer la covariance $\mathrm{cov}(x,y)$. 2. **Centres des classes :** - Ancienneté $x_i$ : $[0,2] \to 1$, $[2,4] \to 3$, $[4,6] \to 5$, $[6,10] \to 8$, $[10,15] \to 12.5$ - Salaire $y_j$ : $[300,400[ \to 350$, $[400,500[ \to 450$, $[500,600[ \to 550$, $[600,900[ \to 750$, $[900,1500[ \to 1200$ 3. **Effectifs totaux et marges :** - Total effectif $N = 5+2+2+1+0 + 3+5+3+4+2 + 2+4+1+5+6 + 0+0+1+0+2 + 0+0+0+0+2 = 48$ 4. **Distribution marginale de $x$ (somme par colonnes) :** - $x=1$: $5+3+2+0+0=10$ - $x=3$: $2+5+4+0+0=11$ - $x=5$: $2+3+1+1+0=7$ - $x=8$: $1+4+5+0+0=10$ - $x=12.5$: $0+2+6+2+2=12$ 5. **Calcul de $\bar{x}$ et $\sigma_x$ :** $$\bar{x} = \frac{1\times10 + 3\times11 + 5\times7 + 8\times10 + 12.5\times12}{48} = \frac{10 + 33 + 35 + 80 + 150}{48} = \frac{308}{48} \approx 6.42$$ $$E(x^2) = \frac{1^2\times10 + 3^2\times11 + 5^2\times7 + 8^2\times10 + 12.5^2\times12}{48} = \frac{10 + 99 + 175 + 640 + 1875}{48} = \frac{2799}{48} \approx 58.31$$ $$\sigma_x = \sqrt{E(x^2) - \bar{x}^2} = \sqrt{58.31 - 6.42^2} = \sqrt{58.31 - 41.22} = \sqrt{17.09} \approx 4.13$$ 6. **Distribution marginale de $y$ (somme par lignes) :** - $y=350$: $5+2+2+1+0=10$ - $y=450$: $3+5+3+4+2=17$ - $y=550$: $2+4+1+5+6=18$ - $y=750$: $0+0+1+0+2=3$ - $y=1200$: $0+0+0+0+2=2$ 7. **Calcul de $\bar{y}$ et $\sigma_y$ :** $$\bar{y} = \frac{350\times10 + 450\times17 + 550\times18 + 750\times3 + 1200\times2}{48} = \frac{3500 + 7650 + 9900 + 2250 + 2400}{48} = \frac{25700}{48} \approx 535.42$$ $$E(y^2) = \frac{350^2\times10 + 450^2\times17 + 550^2\times18 + 750^2\times3 + 1200^2\times2}{48}$$ $$= \frac{1225000 + 3442500 + 5445000 + 1687500 + 2880000}{48} = \frac{14600000}{48} \approx 304166.67$$ $$\sigma_y = \sqrt{E(y^2) - \bar{y}^2} = \sqrt{304166.67 - 535.42^2} = \sqrt{304166.67 - 286676.58} = \sqrt{17490.09} \approx 132.27$$ 8. **Calcul de la covariance $\mathrm{cov}(x,y)$ :** $$\mathrm{cov}(x,y) = E(xy) - \bar{x}\bar{y}$$ Calcul de $E(xy)$ : $$E(xy) = \frac{1\times350\times5 + 3\times350\times2 + 5\times350\times2 + 8\times350\times1 + 12.5\times350\times0 + \ldots}{48}$$ Calcul complet : $$= \frac{(1\times350)(5+2+2+1+0) + (3\times450)(3+5+3+4+2) + (5\times550)(2+4+1+5+6) + (8\times750)(0+0+1+0+2) + (12.5\times1200)(0+0+0+0+2)}{48}$$ $$= \frac{350\times10 + 1350\times17 + 2750\times18 + 6000\times3 + 15000\times2}{48}$$ $$= \frac{3500 + 22950 + 49500 + 18000 + 30000}{48} = \frac{123950}{48} \approx 2582.29$$ Donc $$\mathrm{cov}(x,y) = 2582.29 - 6.42 \times 535.42 = 2582.29 - 3437.45 = -855.16$$ **Interprétation :** La covariance négative indique une tendance inverse entre ancienneté et salaire dans cette distribution. --- **Résumé :** - $\bar{x} \approx 6.42$, $\sigma_x \approx 4.13$ - $\bar{y} \approx 535.42$, $\sigma_y \approx 132.27$ - $\mathrm{cov}(x,y) \approx -855.16$