1. **Énoncé du problème :** On cherche à estimer le paramètre $\theta$ à partir d'observations indépendantes $X_1, X_2, \ldots, X_n$ identiquement distribuées comme $X$. 2. **Formules et règles importantes :** - L'espérance d'un estimateur $T$ est $E[T]$. - Un estimateur est sans biais si $E[T] = \theta$. - La variance $V(T)$ mesure la dispersion de l'estimateur. - La convergence en probabilité signifie que la variance tend vers 0 quand $n \to +\infty$. 3. **Étude du biais de $T_1 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ :** $$E[T_1] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E[X_i] = E[X] = \frac{\theta}{3} \neq \theta$$ Donc $T_1$ est biaisé. 4. **Détermination de $a$ pour $T'_1 = a T_1$ sans biais :** On veut $E[T'_1] = \theta$ donc $$E[a T_1] = a E[T_1] = a \frac{\theta}{3} = \theta \Rightarrow a = 3$$ Donc $T'_1 = 3 T_1$ est sans biais. 5. **Comparaison sans calcul de $T'_1$ et $T_1$ :** L'absence de biais ne garantit pas que $T'_1$ est meilleur que $T_1$ car la variance peut différer. 6. **Montrer que $T_2 = \frac{3}{n} \sum_{i=1}^n X_i - \frac{X_1 + X_2}{2}$ est sans biais :** $$E[T_2] = \frac{3}{n} \sum_{i=1}^n E[X_i] - \frac{1}{2} (E[X_1] + E[X_2]) = 3 \frac{\theta}{3} - \frac{1}{2} \left( \frac{\theta}{3} + \frac{\theta}{3} \right) = \theta - \frac{\theta}{3} = \theta$$ Donc $T_2$ est sans biais. 7. **Étude de la convergence de $T'_1$ et $T_2$ :** Variance de $T'_1$ : $$V(T'_1) = V(3 T_1) = 9 V\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \right) = \frac{9}{n^2} \sum_{i=1}^n V(X_i) = \frac{9}{n} V(X) = \frac{9}{n} \left( \frac{1}{3} - \frac{\theta^2}{9} \right) \to 0 \text{ quand } n \to +\infty$$ Donc $T'_1$ converge. Pour $T_2$, la variance ne tend pas vers 0, donc $T_2$ ne converge pas. 8. **Choix entre $T'_1$ et $T_2$ :** Les deux sont sans biais, mais $T'_1$ est convergent alors que $T_2$ ne l'est pas. Donc $T'_1$ est préférable pour estimer $\theta$.