1. Pernyataan masalah: Seorang pengusaha memproduksi 5000 pasang sepatu dan 5 pasang tidak memenuhi standar mutu sehingga probabilitas cacat per pasang adalah $p=\frac{5}{5000}=0.001$. 2. Model probabilitas: Jika Mr. X menerima n=7000 pasang, jumlah pasang cacat $X$ dimodelkan dengan distribusi binomial $X\sim\mathrm{Binomial}(7000,0.001)$. 3. Pendekatan Poisson: Untuk $n$ besar dan $p$ kecil kita dapat mendekati distribusi binomial dengan distribusi Poisson dengan parameter $\lambda=np=7000\times0.001=7$. 4. (a) Probabilitas Mr. X mendapat paling banyak 3 pasang cacat. 5. Pendekatan Binomial: tuliskan formula berikut untuk probabilitas kumulatif. $$P(X\le 3)=\sum_{k=0}^{3} \binom{7000}{k}\,0.001^{k}\,0.999^{7000-k}$$ 6. Perhitungan binomial (pendekatan numerik): kita dapat menghitung tiap suku tetapi karena angka besar kita gunakan nilai pendekatan berikut untuk tiap suku binomial sebagai gambaran. 7. $P_{0}=0.999^{7000}\approx 0.0009085037991002588$. 8. $P_{1}=7000\times0.001\times0.999^{6999}\approx 0.006365887$. 9. $P_{2}=\binom{7000}{2}0.001^{2}0.999^{6998}\approx 0.022323$. 10. $P_{3}=\binom{7000}{3}0.001^{3}0.999^{6997}\approx 0.05208$. 11. Jumlahkan suku-suku binomial di atas untuk mendapatkan pendekatan binomial: $P_{\text{binomial}}(X\le3)\approx 0.08168$. 12. Pendekatan Poisson: gunakan formula Poisson dengan $\lambda=7$. $$P(X\le 3)=\sum_{k=0}^{3} e^{-7}\frac{7^{k}}{k!}$$ 13. Hitung suku-suku Poisson secara terpisah. 14. $P_{0}=e^{-7}\approx 0.0009118819655545162$. 15. $P_{1}=e^{-7}\frac{7^{1}}{1!}\approx 0.006383173758881613$. 16. $P_{2}=e^{-7}\frac{7^{2}}{2!}\approx 0.022341108956085647$. 17. $P_{3}=e^{-7}\frac{7^{3}}{3!}\approx 0.052129252365199844$. 18. Jumlahkan: $P_{\text{Poisson}}(X\le3)\approx 0.08176541704572162$. 19. Kesimpulan (a): Hasil kedua pendekatan sangat dekat sehingga probabilitas paling banyak 3 cacat sekitar $0.0817$. 20. (b) Probabilitas Mr. X mendapat lebih dari 4 pasang cacat yaitu $P(X>4)=1-P(X\le4)$. 21. Pendekatan Poisson: tambahkan suku $k=4$. 22. $P_{4}=e^{-7}\frac{7^{4}}{4!}\approx 0.09122619247068306$. 23. Maka $P(X\le4)_{\text{Poisson}}\approx 0.08176541704572162+0.09122619247068306=0.17299160951640468$. 24. Jadi $P(X>4)_{\text{Poisson}}=1-0.17299160951640468\approx 0.8270083904835953$. 25. Pendekatan Binomial memberi nilai sangat mirip, dengan $P(X>4)_{\text{Binomial}}\approx 0.8270$. 26. (c) Rata-rata dan simpangan baku dari jumlah pasang cacat yang diperoleh Mr. X. 27. Untuk Binomial: rata-rata $\mu=np=7000\times0.001=7$. 28. Varians $\sigma^{2}=np(1-p)=7\times0.999=6.993$. 29. Simpangan baku $\sigma=\sqrt{6.993}\approx 2.64443$. 30. Untuk Poisson (pendekatan): rata-rata $\lambda=7$ dan simpangan baku $\sqrt{\lambda}=\sqrt{7}\approx 2.64575$. 31. Ringkasan akhir: (a) $P(X\le3)\approx 0.0817$ (binomial ≈ 0.08168, Poisson ≈ 0.0817654). 32. (b) $P(X>4)\approx 0.8270$ (Poisson ≈ 0.8270084). 33. (c) Rata-rata ≈ 7 dan simpangan baku ≈ 2.644 (binomial) atau 2.646 (Poisson).