1. **Problemstellung:** Wir haben eine Folge von Zahlen $a_1, a_2, \ldots, a_9$. Der Wert $a_1$ wird um 5 vergrößert, also zu $a_1 + 5$. Der Wert $a_9$ wird um 5 verkleinert, also zu $a_9 - 5$. Wir sollen untersuchen, wie sich dadurch verschiedene statistische Maße verändern: arithmetisches Mittel, Median, Spannweite, Modus und Standardabweichung. 2. **Formeln und wichtige Regeln:** - Arithmetisches Mittel: $\bar{a} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_i$ - Median: Der mittlere Wert der sortierten Daten - Spannweite: $\text{Spannweite} = a_{\max} - a_{\min}$ - Modus: Der am häufigsten vorkommende Wert - Standardabweichung: $s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (a_i - \bar{a})^2}$ 3. **Analyse der Änderungen:** - Arithmetisches Mittel: Durch Erhöhung von $a_1$ um 5 und Verringerung von $a_9$ um 5 ändert sich die Summe der Werte nicht, da $+5$ und $-5$ sich aufheben. Also bleibt das arithmetische Mittel gleich. - Median: Da nur die äußersten Werte verändert werden und die mittleren Werte unverändert bleiben, bleibt der Median unverändert. - Spannweite: Ursprünglich ist die Spannweite $a_9 - a_1$. Nach der Änderung ist sie $(a_9 - 5) - (a_1 + 5) = a_9 - a_1 - 10$. Die Spannweite verringert sich also um 10. - Modus: Da nur zwei Werte verändert werden und keine Information über Häufigkeiten gegeben ist, bleibt der Modus unverändert, sofern $a_1$ und $a_9$ nicht die Moduswerte sind oder sich dadurch ändern. - Standardabweichung: Da sich die Werte $a_1$ und $a_9$ weiter vom Mittelwert entfernen (jeweils um 5 in entgegengesetzte Richtungen), ändert sich die Standardabweichung. Sie wird größer, da die Streuung zunimmt. 4. **Zusammenfassung:** - Arithmetisches Mittel: bleibt gleich - Median: bleibt gleich - Spannweite: verringert sich um 10 - Modus: bleibt gleich (unter Annahme) - Standardabweichung: erhöht sich