1. مسئله اول: از ۲۰ داده آماری با انحراف معیار ۳، ۴ داده با انحراف معیار ۶ حذف شده‌اند. میانگین داده‌های حذف‌شده با میانگین کل داده‌های اولیه برابر است. واریانس ۱۶ داده باقی‌مانده را بیابید. 2. فرمول‌های مهم: - واریانس کل داده‌ها: $$\sigma^2 = 3^2 = 9$$ - تعداد کل داده‌ها: $$n = 20$$ - تعداد داده‌های حذف شده: $$k = 4$$ - انحراف معیار داده‌های حذف شده: $$\sigma_k = 6$$ بنابراین واریانس داده‌های حذف شده: $$\sigma_k^2 = 36$$ - تعداد داده‌های باقی‌مانده: $$n-k = 16$$ 3. چون میانگین داده‌های حذف شده با میانگین کل برابر است، میانگین داده‌های باقی‌مانده نیز برابر است. بنابراین واریانس کل به صورت ترکیبی از واریانس داده‌های حذف شده و باقی‌مانده است: $$n \sigma^2 = k \sigma_k^2 + (n-k) \sigma_{n-k}^2$$ 4. جایگذاری اعداد: $$20 \times 9 = 4 \times 36 + 16 \times \sigma_{16}^2$$ $$180 = 144 + 16 \times \sigma_{16}^2$$ 5. حل برای واریانس ۱۶ داده باقی‌مانده: $$16 \times \sigma_{16}^2 = 180 - 144 = 36$$ $$\sigma_{16}^2 = \frac{36}{16} = 2.25$$ بنابراین واریانس ۱۶ داده باقی‌مانده برابر با $$2.25$$ است که در گزینه‌ها نیست. اما اگر سوال منظور واریانس داده‌های حذف شده را داشته باشد، گزینه‌ها را بررسی می‌کنیم. --- 1. مسئله دوم: ضریب تغییرات داده‌های $$60, 12, 12, 12$$ را بیابید. 2. فرمول ضریب تغییرات: $$CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$$ 3. محاسبه میانگین: $$\bar{x} = \frac{60 + 12 + 12 + 12}{4} = \frac{96}{4} = 24$$ 4. محاسبه واریانس: $$\sigma^2 = \frac{(60-24)^2 + (12-24)^2 + (12-24)^2 + (12-24)^2}{4}$$ $$= \frac{36^2 + (-12)^2 + (-12)^2 + (-12)^2}{4} = \frac{1296 + 144 + 144 + 144}{4} = \frac{1728}{4} = 432$$ 5. انحراف معیار: $$\sigma = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}$$ 6. ضریب تغییرات: $$CV = \frac{12\sqrt{3}}{24} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ بنابراین گزینه صحیح گزینه ۱ است. --- پاسخ نهایی: - واریانس ۱۶ داده باقی‌مانده: $$2.25$$ (هیچ گزینه‌ای مطابقت ندارد) - ضریب تغییرات: $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ (گزینه ۱)