1. **Nêu bài toán:** Điều tra thu nhập của 100 công nhân được phân theo các khoảng lớp và số công nhân tương ứng. Giả sử thu nhập phân phối chuẩn, ta cần: - a) Ước lượng mức thu nhập trung bình với độ tin cậy 95%. - b) Kiểm định giả thuyết tỉ lệ công nhân có thu nhập khá (≥68 triệu) đã tăng so với tỉ lệ trước là 22% với mức ý nghĩa 5%. 2. **Tính toán cho câu a:** - Tính trung bình mẫu $\bar{x}$ và độ lệch chuẩn mẫu $s$. - Trung điểm các lớp thu nhập: 63, 65, 67, 69, 71 triệu đồng. - Số công nhân: 9, 26, 36, 24, 5. - Tổng số công nhân $n=100$. 3. **Tính trung bình mẫu:** $$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum m_i x_i = \frac{9\times63 + 26\times65 + 36\times67 + 24\times69 + 5\times71}{100}$$ $$= \frac{567 + 1690 + 2412 + 1656 + 355}{100} = \frac{6680}{100} = 66.8$$ 4. **Tính phương sai mẫu:** $$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum m_i (x_i - \bar{x})^2$$ Tính từng bình phương sai lệch: - $(63 - 66.8)^2 = 14.44$ - $(65 - 66.8)^2 = 3.24$ - $(67 - 66.8)^2 = 0.04$ - $(69 - 66.8)^2 = 4.84$ - $(71 - 66.8)^2 = 17.64$ Tính tổng: $$\sum m_i (x_i - \bar{x})^2 = 9\times14.44 + 26\times3.24 + 36\times0.04 + 24\times4.84 + 5\times17.64$$ $$= 129.96 + 84.24 + 1.44 + 116.16 + 88.2 = 419.99999999999994 \approx 420$$ Phương sai mẫu: $$s^2 = \frac{420}{99} \approx 4.2424$$ Độ lệch chuẩn mẫu: $$s = \sqrt{4.2424} \approx 2.06$$ 5. **Ước lượng khoảng tin cậy 95% cho trung bình:** Công thức: $$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$$ Với $z_{0.025} = 1.96$, ta có: $$66.8 \pm 1.96 \times \frac{2.06}{\sqrt{100}} = 66.8 \pm 1.96 \times 0.206 = 66.8 \pm 0.404$$ Khoảng tin cậy: $$[66.396, 67.204]$$ 6. **Câu b: Kiểm định tỉ lệ công nhân có thu nhập khá (≥68 triệu):** - Tổng số công nhân có thu nhập khá: $24 + 5 = 29$ - Tỉ lệ mẫu: $$\hat{p} = \frac{29}{100} = 0.29$$ - Giả thuyết: - $H_0: p = 0.22$ - $H_1: p > 0.22$ - Mức ý nghĩa $\alpha = 0.05$ 7. **Thống kê kiểm định:** $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}} = \frac{0.29 - 0.22}{\sqrt{\frac{0.22 \times 0.78}{100}}} = \frac{0.07}{\sqrt{0.001716}} = \frac{0.07}{0.04144} \approx 1.69$$ 8. **Kết luận:** - Giá trị tới hạn $z_{0.05} = 1.645$ - Vì $Z = 1.69 > 1.645$, ta bác bỏ $H_0$. - Vậy có đủ bằng chứng để kết luận tỉ lệ công nhân có thu nhập khá đã tăng lên so với 22% trước đây với mức ý nghĩa 5%.