1. **Énoncé du problème :** Un chercheur veut constituer un échantillon représentatif de 300 étudiants répartis en 7 strates (établissements). On doit calculer le nombre d'individus à tirer dans la 2e strate (Isc) par stratification, puis déterminer les 10 premiers numéros à tirer par échantillonnage systématique avec un pas $p_2=125$. 2. **Formule de la stratification :** Le nombre d'individus $n_i$ à tirer dans la strate $i$ est donné par $$n_i = n \times \frac{N_i}{N}$$ avec $n=300$ la taille totale de l'échantillon, $N_i$ la taille de la strate $i$, et $N$ la population totale. 3. **Calculs pour la 2e strate (Isc) :** - Taille totale $N = 20000 + 10000 + 8000 + 12000 + 3000 + 2000 + 5000 = 60000$ - Taille de la 2e strate $N_2 = 10000$ - Calcul de $n_2$ : $$n_2 = 300 \times \frac{10000}{60000} = 300 \times \frac{1}{6} = 50$$ 4. **Échantillonnage systématique dans la 2e strate :** - Pas de base $p_2 = 125$ - Les individus sont numérotés de 1 à $N_2 = 10000$ - Le nombre d'individus à tirer est $n_2 = 50$ - Le premier numéro à tirer est un nombre aléatoire $r$ entre 1 et $p_2$. Supposons $r=1$ pour cet exemple (sinon on peut choisir un autre nombre). - Les 10 premiers numéros à tirer sont : $$r, r+p_2, r+2p_2, \ldots, r+9p_2 = 1, 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876, 1001, 1126$$ --- 5. **Deuxième problème :** Population $N=2500$ décomposée en 5 strates $C_1$ à $C_5$ avec tailles $N_1=600$, $N_2=450$, $N_3=900$, $N_4=170$, $N_5=380$. On veut un échantillon $n=250$. 6. **Méthode de stratification :** Pour chaque strate $i$, on calcule $$n_i = n \times \frac{N_i}{N}$$ 7. **Calculs :** - $n_1 = 250 \times \frac{600}{2500} = 250 \times 0.24 = 60$ - $n_2 = 250 \times \frac{450}{2500} = 250 \times 0.18 = 45$ - $n_3 = 250 \times \frac{900}{2500} = 250 \times 0.36 = 90$ - $n_4 = 250 \times \frac{170}{2500} = 250 \times 0.068 = 17$ - $n_5 = 250 \times \frac{380}{2500} = 250 \times 0.152 = 38$ 8. **Conclusion :** L'échantillon représentatif est constitué de 60 individus de $C_1$, 45 de $C_2$, 90 de $C_3$, 17 de $C_4$ et 38 de $C_5$. Cela garantit que la proportion de chaque strate dans l'échantillon reflète celle de la population totale.