1. **Nyatakan masalah:** Kita ingin memahami model regresi nonparametrik spline truncated linier dengan satu titik knot, dengan orde linier ($m=1$), satu titik knot ($r=1$), dan tiga variabel prediktor ($p=3$). 2. **Model yang diberikan:** $$\hat{y}_i = \hat{\beta}_{01} + \hat{\beta}_{11}x_{1i} + \hat{\beta}_{12}(x_{1i} - k_1)_+ + \hat{\beta}_{21}x_{2i} + \hat{\beta}_{22}(x_{2i} - k_2)_+ + \hat{\beta}_{31}x_{3i} + \hat{\beta}_{32}(x_{3i} - k_3)_+$$ Dimana $(x - k)_+ = \max(0, x-k)$ adalah fungsi truncated linear yang bernilai nol jika $x \leq k$ dan $x-k$ jika $x > k$. 3. **Penjelasan:** - $\hat{\beta}_{0j}$ adalah intercept untuk variabel ke-$j$. - $\hat{\beta}_{1j}$ adalah koefisien linier variabel ke-$j$. - $\hat{\beta}_{2j}$ adalah koefisien untuk bagian spline setelah titik knot $k_j$. - Titik knot $k_j$ adalah nilai di mana fungsi spline berubah kemiringan. 4. **Contoh manual:** Misal kita punya data satu titik observasi dengan variabel: - $x_1 = 2$, $x_2 = 3$, $x_3 = 4$ - Titik knot: $k_1 = 1.5$, $k_2 = 2.5$, $k_3 = 3.5$ - Koefisien (hasil estimasi): - $\hat{\beta}_{01} = 1$, $\hat{\beta}_{11} = 0.5$, $\hat{\beta}_{12} = 0.2$ - $\hat{\beta}_{21} = 0.3$, $\hat{\beta}_{22} = 0.1$ - $\hat{\beta}_{31} = 0.4$, $\hat{\beta}_{32} = 0.05$ 5. **Hitung fungsi truncated:** - $(x_1 - k_1)_+ = \max(0, 2 - 1.5) = 0.5$ - $(x_2 - k_2)_+ = \max(0, 3 - 2.5) = 0.5$ - $(x_3 - k_3)_+ = \max(0, 4 - 3.5) = 0.5$ 6. **Hitung prediksi $\hat{y}_i$:** $$\hat{y}_i = 1 + 0.5 \times 2 + 0.2 \times 0.5 + 0.3 \times 3 + 0.1 \times 0.5 + 0.4 \times 4 + 0.05 \times 0.5$$ $$= 1 + 1 + 0.1 + 0.9 + 0.05 + 1.6 + 0.025 = 4.675$$ 7. **Kesimpulan:** Dengan memasukkan nilai variabel, titik knot, dan koefisien ke dalam model spline truncated linier, kita dapat menghitung prediksi $\hat{y}_i$ secara manual. Model ini memungkinkan perubahan kemiringan fungsi pada titik knot, sehingga lebih fleksibel daripada regresi linier biasa.