1. **بيان المشكلة:** نريد اختبار ما إذا كانت البيانات المشاهدة $O_i$ تختلف عن القيم المتوقعة $e_i$ باستخدام اختبار كاي-تربيع عند مستوى معنوية 0.05. 2. **الصيغة المستخدمة:** صيغة إحصائية اختبار كاي-تربيع هي: $$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - e_i)^2}{e_i}$$ حيث $O_i$ هي القيم المشاهدة و $e_i$ هي القيم المتوقعة. 3. **حساب إحصائية كاي-تربيع:** - للصف 1: $\frac{(20-20)^2}{20} = 0$ - للصف 2: $\frac{(22-20)^2}{20} = \frac{4}{20} = 0.2$ - للصف 3: $\frac{(17-20)^2}{20} = \frac{9}{20} = 0.45$ - للصف 4: $\frac{(18-20)^2}{20} = \frac{4}{20} = 0.2$ - للصف 5: $\frac{(19-24)^2}{24} = \frac{25}{24} \approx 1.0417$ - للصف 6: $\frac{(5-6)^2}{6} = \frac{1}{6} \approx 0.1667$ 4. **جمع القيم:** $$\chi^2 = 0 + 0.2 + 0.45 + 0.2 + 1.0417 + 0.1667 = 2.0584$$ 5. **تحديد درجات الحرية:** عدد الفئات $k=6$، وبدون تقدير معلمات من البيانات، درجات الحرية $df = k - 1 = 5$. 6. **مقارنة بالقيمة الحرجة:** من جدول توزيع كاي-تربيع عند $\alpha=0.05$ و $df=5$، القيمة الحرجة $\chi^2_{0.05,5} = 11.07$ تقريباً. 7. **الاستنتاج:** لأن $2.0584 < 11.07$، لا نرفض الفرضية الصفرية. أي لا يوجد دليل كافٍ لرفض أن البيانات تتبع التوزيع المتوقع عند مستوى معنوية 0.05. **النتيجة النهائية:** $$\chi^2 = 2.06 < 11.07 \Rightarrow \text{لا نرفض الفرضية الصفرية}$$