1. **بيان المسألة:** لدينا بيانات عن عدد المتسوقين في 42 مركز تسويق وعدد الأسواق التي بها هذا العدد من المتسوقين. 2. **البيانات المعطاة:** عدد المتسوقين: 0, 1, 2, 3 عدد الأسواق: 4, 6, 8, 10 مجموع الأسواق = 4 + 6 + 8 + 10 = 28 (يبدو أن هناك خطأ في المجموع، لكن سنكمل بالمعطى) 3. **المطلوب:** هل هذه البيانات تتوافق مع توزيع ذي الحدين Binomial distribution مع $p=0.2$ عند مستوى معنوية $\alpha=0.05$؟ 4. **صيغة توزيع ذي الحدين:** $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ حيث $n$ هو عدد التجارب، $k$ هو عدد النجاحات، و $p$ هو احتمال النجاح. 5. **تحديد $n$:** عدد المتسوقين يأخذ القيم 0 إلى 3، إذن $n=3$. 6. **حساب الاحتمالات النظرية لكل $k$:** - $P(0) = \binom{3}{0} (0.2)^0 (0.8)^3 = 1 \times 1 \times 0.512 = 0.512$ - $P(1) = \binom{3}{1} (0.2)^1 (0.8)^2 = 3 \times 0.2 \times 0.64 = 0.384$ - $P(2) = \binom{3}{2} (0.2)^2 (0.8)^1 = 3 \times 0.04 \times 0.8 = 0.096$ - $P(3) = \binom{3}{3} (0.2)^3 (0.8)^0 = 1 \times 0.008 \times 1 = 0.008$ 7. **حساب التكرارات المتوقعة:** عدد الأسواق = 28 - $E_0 = 28 \times 0.512 = 14.336$ - $E_1 = 28 \times 0.384 = 10.752$ - $E_2 = 28 \times 0.096 = 2.688$ - $E_3 = 28 \times 0.008 = 0.224$ 8. **اختبار كاي-تربيع ($\chi^2$):** $$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$$ حيث $O_i$ هي التكرارات المرصودة، و $E_i$ هي التكرارات المتوقعة. - $\frac{(4 - 14.336)^2}{14.336} = \frac{(-10.336)^2}{14.336} = \frac{106.83}{14.336} = 7.45$ - $\frac{(6 - 10.752)^2}{10.752} = \frac{(-4.752)^2}{10.752} = \frac{22.58}{10.752} = 2.10$ - $\frac{(8 - 2.688)^2}{2.688} = \frac{(5.312)^2}{2.688} = \frac{28.22}{2.688} = 10.50$ - $\frac{(10 - 0.224)^2}{0.224} = \frac{(9.776)^2}{0.224} = \frac{95.57}{0.224} = 426.76$ 9. **مجموع $\chi^2$:** $$7.45 + 2.10 + 10.50 + 426.76 = 446.81$$ 10. **درجة الحرية:** عدد الفئات - 1 - عدد المعلمات المقدرة = $4 - 1 - 0 = 3$ 11. **مقارنة بالقيمة الحرجة:** عند $\alpha=0.05$ و3 درجات حرية، القيمة الحرجة $\chi^2_{0.05,3} = 7.815$ 12. **الاستنتاج:** $\chi^2 = 446.81$ أكبر بكثير من 7.815، إذن نرفض الفرضية الصفرية. **النتيجة النهائية:** البيانات لا تتوافق مع توزيع ذي الحدين عند مستوى معنوية 0.05 مع $p=0.2$.