1. **بيان المشكلة:** نريد اختبار ما إذا كانت البيانات المعطاة تتوافق مع توزيع ذي الحدين Binomial distribution عند مستوى معنوية 0.05. 2. **المعطيات:** - عدد المراكز (العينة) = 42 - عدد المتسوقين (x) = 0, 1, 2, 3 - عدد الأسواق لكل قيمة من x = 4, 6, 8, 10 - قيمة p (احتمال النجاح) = 0.2 3. **صيغة توزيع ذي الحدين:** $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ حيث: - $n$ هو عدد التجارب (غير معطى صراحة، نفترض $n=3$ لأن $x$ يأخذ القيم 0 إلى 3) - $k$ هو عدد النجاحات (عدد المتسوقين) - $p=0.2$ 4. **حساب الاحتمالات النظرية لكل قيمة من $x$:** - $P(0) = \binom{3}{0} 0.2^0 (0.8)^3 = 1 \times 1 \times 0.512 = 0.512$ - $P(1) = \binom{3}{1} 0.2^1 (0.8)^2 = 3 \times 0.2 \times 0.64 = 0.384$ - $P(2) = \binom{3}{2} 0.2^2 (0.8)^1 = 3 \times 0.04 \times 0.8 = 0.096$ - $P(3) = \binom{3}{3} 0.2^3 (0.8)^0 = 1 \times 0.008 \times 1 = 0.008$ 5. **حساب التكرارات المتوقعة لكل قيمة:** - $E_0 = 42 \times 0.512 = 21.504$ - $E_1 = 42 \times 0.384 = 16.128$ - $E_2 = 42 \times 0.096 = 4.032$ - $E_3 = 42 \times 0.008 = 0.336$ 6. **حساب إحصائية كاي-تربيع:** $$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$$ حيث $O_i$ هي التكرارات المرصودة و $E_i$ هي التكرارات المتوقعة. - $\chi^2 = \frac{(4 - 21.504)^2}{21.504} + \frac{(6 - 16.128)^2}{16.128} + \frac{(8 - 4.032)^2}{4.032} + \frac{(10 - 0.336)^2}{0.336}$ - حساب كل حد: - $\frac{(4 - 21.504)^2}{21.504} = \frac{(-17.504)^2}{21.504} = \frac{306.3}{21.504} \approx 14.25$ - $\frac{(6 - 16.128)^2}{16.128} = \frac{(-10.128)^2}{16.128} = \frac{102.57}{16.128} \approx 6.36$ - $\frac{(8 - 4.032)^2}{4.032} = \frac{3.968^2}{4.032} = \frac{15.75}{4.032} \approx 3.91$ - $\frac{(10 - 0.336)^2}{0.336} = \frac{9.664^2}{0.336} = \frac{93.39}{0.336} \approx 277.95$ - المجموع: $$\chi^2 \approx 14.25 + 6.36 + 3.91 + 277.95 = 302.47$$ 7. **تحديد درجات الحرية:** - $df = \text{عدد الفئات} - 1 - \text{عدد المعلمات المقدرة} = 4 - 1 - 0 = 3$ 8. **مقارنة بقيمة كاي-تربيع الحرجة عند $\alpha=0.05$ و $df=3$:** - القيمة الحرجة $\chi^2_{0.05,3} = 7.815$ 9. **الاستنتاج:** - لأن $302.47 > 7.815$، نرفض الفرضية الصفرية. - إذن، البيانات لا تتوافق مع توزيع ذي الحدين عند مستوى معنوية 0.05. **النتيجة النهائية:** البيانات لا تتبع توزيع ذي الحدين مع $p=0.2$ عند مستوى معنوية 0.05.