1. **بيان المسألة:** لدينا بيانات عن عدد المتسوّقين في 42 مركز تسويق وعدد الأسواق التي تحقق كل عدد متسوّقين. نريد اختبار ما إذا كانت هذه البيانات تتوافق مع توزيع ذي الحدين Binomial distribution مع $n=3$ و $p=0.2$ عند مستوى معنوية $\alpha=0.05$. 2. **المعطيات:** - عدد المتسوّقين (x): 0, 1, 2, 3 - عدد الأسواق (التكرار Observed frequencies): 4, 6, 8, 10 - إجمالي عدد الأسواق: $4+6+8+10=28$ (يبدو أن هناك خطأ في مجموع الأسواق، لكن سنستخدم 28 كما هو معطى) - $n=3$, $p=0.2$ 3. **صيغة توزيع ذي الحدين:** $$P(X=x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}$$ 4. **حساب الاحتمالات النظرية لكل قيمة من x:** - $P(0) = \binom{3}{0} (0.2)^0 (0.8)^3 = 1 \times 1 \times 0.512 = 0.512$ - $P(1) = \binom{3}{1} (0.2)^1 (0.8)^2 = 3 \times 0.2 \times 0.64 = 0.384$ - $P(2) = \binom{3}{2} (0.2)^2 (0.8)^1 = 3 \times 0.04 \times 0.8 = 0.096$ - $P(3) = \binom{3}{3} (0.2)^3 (0.8)^0 = 1 \times 0.008 \times 1 = 0.008$ 5. **حساب التكرارات المتوقعة (Expected frequencies):** $$E_i = P(X=x_i) \times \text{إجمالي عدد الأسواق} = P(X=x_i) \times 28$$ - $E_0 = 0.512 \times 28 = 14.336$ - $E_1 = 0.384 \times 28 = 10.752$ - $E_2 = 0.096 \times 28 = 2.688$ - $E_3 = 0.008 \times 28 = 0.224$ 6. **اختبار كاي-تربيع (Chi-square test):** $$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$$ حيث $O_i$ هي التكرارات المرصودة. 7. **حساب قيمة $\chi^2$:** - $\frac{(4 - 14.336)^2}{14.336} = \frac{(-10.336)^2}{14.336} = \frac{106.83}{14.336} \approx 7.45$ - $\frac{(6 - 10.752)^2}{10.752} = \frac{(-4.752)^2}{10.752} = \frac{22.58}{10.752} \approx 2.10$ - $\frac{(8 - 2.688)^2}{2.688} = \frac{(5.312)^2}{2.688} = \frac{28.22}{2.688} \approx 10.50$ - $\frac{(10 - 0.224)^2}{0.224} = \frac{(9.776)^2}{0.224} = \frac{95.57}{0.224} \approx 426.76$ 8. **مجموع $\chi^2$:** $$7.45 + 2.10 + 10.50 + 426.76 = 446.81$$ 9. **درجة الحرية:** $$df = \text{عدد الفئات} - 1 - \text{عدد المعلمات المقدرة} = 4 - 1 - 0 = 3$$ 10. **مقارنة بقيمة الجدول:** عند $\alpha=0.05$ و $df=3$، القيمة الحرجة $\chi^2_{0.05,3} = 7.815$ 11. **الاستنتاج:** قيمة $\chi^2$ المحسوبة (446.81) أكبر بكثير من القيمة الحرجة (7.815)، إذن نرفض الفرضية الصفرية. **النتيجة:** البيانات غير متوافقة مع توزيع ذي الحدين $n=3$, $p=0.2$ عند مستوى معنوية 0.05.