1. **بيان المشكلة:** نريد اختبار ما إذا كانت البيانات التي تم جمعها عن عدد المستهلكين في 42 مركز تسويق تتبع توزيع ذي الحدين مع احتمال نجاح $p=0.2$ عند مستوى معنوية $\alpha=0.05$. 2. **المعطيات:** - عدد المراكز $n=42$ - عدد المستهلكين الممكن: 0, 1, 2, 3 - عدد المرات التي ظهر فيها كل عدد مستهلكين: 4, 6, 8, 10 - احتمال النجاح $p=0.2$ 3. **صيغة اختبار كاي-تربيع (\chi^2):** $$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$$ حيث: - $O_i$ هو التكرار المرصود لكل فئة - $E_i$ هو التكرار المتوقع لكل فئة تحت فرضية التوزيع 4. **حساب التكرارات المتوقعة $E_i$ لتوزيع ذي الحدين:** عدد التجارب $n=3$ (لأن عدد المستهلكين من 0 إلى 3) $$E_i = n_{total} \times P(X=i) = 42 \times \binom{3}{i} p^i (1-p)^{3-i}$$ حيث $\binom{3}{i}$ هو التوافيق. 5. **حساب الاحتمالات:** - $P(X=0) = \binom{3}{0} 0.2^0 0.8^3 = 1 \times 1 \times 0.512 = 0.512$ - $P(X=1) = \binom{3}{1} 0.2^1 0.8^2 = 3 \times 0.2 \times 0.64 = 0.384$ - $P(X=2) = \binom{3}{2} 0.2^2 0.8^1 = 3 \times 0.04 \times 0.8 = 0.096$ - $P(X=3) = \binom{3}{3} 0.2^3 0.8^0 = 1 \times 0.008 \times 1 = 0.008$ 6. **حساب التكرارات المتوقعة:** - $E_0 = 42 \times 0.512 = 21.504$ - $E_1 = 42 \times 0.384 = 16.128$ - $E_2 = 42 \times 0.096 = 4.032$ - $E_3 = 42 \times 0.008 = 0.336$ 7. **حساب قيمة \chi^2:** $$\chi^2 = \frac{(4 - 21.504)^2}{21.504} + \frac{(6 - 16.128)^2}{16.128} + \frac{(8 - 4.032)^2}{4.032} + \frac{(10 - 0.336)^2}{0.336}$$ $$= \frac{(-17.504)^2}{21.504} + \frac{(-10.128)^2}{16.128} + \frac{3.968^2}{4.032} + \frac{9.664^2}{0.336}$$ $$= \frac{306.3}{21.504} + \frac{102.58}{16.128} + \frac{15.75}{4.032} + \frac{93.39}{0.336}$$ $$= 14.25 + 6.36 + 3.91 + 277.96 = 302.48$$ 8. **تحديد درجات الحرية:** $$df = k - 1 - m = 4 - 1 - 0 = 3$$ حيث $k=4$ عدد الفئات، و$m=0$ عدد المعلمات المقدرة من البيانات (هنا $p$ معطى). 9. **مقارنة بقيمة \chi^2 الحرجة:** عند $\alpha=0.05$ و $df=3$، القيمة الحرجة من جدول \chi^2 هي حوالي 7.815. 10. **القرار:** قيمة \chi^2 المحسوبة (302.48) أكبر بكثير من القيمة الحرجة (7.815)، لذا نرفض الفرضية الصفرية. **النتيجة:** البيانات لا تتبع توزيع ذي الحدين عند مستوى معنوية 0.05.