1. مسأله: بررسی تفاوت معنی دار در میانگین نمرات سه گروه درمانی A، B، و C با استفاده از تحلیل واریانس (ANOVA) در سطح معنی داری ۵٪. 2. داده‌ها: - گروه A: 5, 9, 8, 10 - گروه B: 4, 7, 10 - گروه C: 7, 8, 9 3. گام اول: محاسبه میانگین هر گروه: - $\bar{x}_A = \frac{5+9+8+10}{4} = \frac{32}{4} = 8$ - $\bar{x}_B = \frac{4+7+10}{3} = \frac{21}{3} = 7$ - $\bar{x}_C = \frac{7+8+9}{3} = \frac{24}{3} = 8$ 4. گام دوم: محاسبه میانگین کلی (همه داده ها): - تعداد کل داده ها: $N=4+3+3=10$ - مجموع کل داده ها: $32+21+24=77$ - میانگین کلی: $\bar{x} = \frac{77}{10} = 7.7$ 5. گام سوم: محاسبه جمع مربعات کل (Total Sum of Squares, SST): $$ SST = \sum (x_{ij} - \bar{x})^2 $$ محاسبه: برای گروه A: $(5-7.7)^2=7.29$, $(9-7.7)^2=1.69$, $(8-7.7)^2=0.09$, $(10-7.7)^2=5.29$ مجموع برای A = $7.29+1.69+0.09+5.29=14.36$ برای گروه B: $(4-7.7)^2=13.69$, $(7-7.7)^2=0.49$, $(10-7.7)^2=5.29$ مجموع برای B = $13.69+0.49+5.29=19.47$ برای گروه C: $(7-7.7)^2=0.49$, $(8-7.7)^2=0.09$, $(9-7.7)^2=1.69$ مجموع برای C = $0.49+0.09+1.69=2.27$ پس: $$ SST=14.36 + 19.47 + 2.27 = 36.1 $$ 6. گام چهارم: محاسبه مجموع مربعات بین گروه ها (Sum of Squares Between, SSB): $$ SSB = \sum n_i(\bar{x}_i - \bar{x})^2 $$ که $n_i$ تعداد نمونه ها در هر گروه است: - برای A: $4(8 - 7.7)^2 = 4 \times 0.09=0.36$ - برای B: $3(7 - 7.7)^2 = 3 \times 0.49=1.47$ - برای C: $3(8 - 7.7)^2 = 3 \times 0.09=0.27$ بنابراین: $$ SSB = 0.36 + 1.47 + 0.27 = 2.1 $$ 7. گام پنجم: محاسبه مجموع مربعات درون گروه (Sum of Squares Within, SSW): $$ SSW = SST - SSB = 36.1 - 2.1 = 34 $$ 8. گام ششم: محاسبه درجات آزادی: - درجه آزادی بین گروه‌ها: $df_{between} = k - 1 = 3 - 1 = 2$ - درجه آزادی درون گروه‌ها: $df_{within} = N - k = 10 - 3 = 7$ 9. گام هفتم: محاسبه میانگین مربعات: - میانگین مربعات بین گروه‌ها: $$ MSB = \frac{SSB}{df_{between}} = \frac{2.1}{2} = 1.05 $$ - میانگین مربعات درون گروه‌ها: $$ MSW = \frac{SSW}{df_{within}} = \frac{34}{7} \approx 4.857 $$ 10. گام هشتم: محاسبه آماره F: $$ F = \frac{MSB}{MSW} = \frac{1.05}{4.857} \approx 0.216 $$ 11. گام نهم: مقایسه با مقدار بحرانی F در سطح معنی داری ۵٪ و درجات آزادی $df_1=2$ و $df_2=7$. - مقدار بحرانی $F_{0.05,2,7} \approx 4.74$ 12. نتیجه: چون $F_{محاسبه شده} = 0.216 < 4.74 = F_{بحرانی}$، نمی‌توانیم فرض صفر (برابری میانگین‌ها) را رد کنیم. بنابراین، در سطح معنی داری ۵٪ تفاوت معنی داری در میانگین نمرات بین سه روش درمانی مشاهده نمی‌شود.