1. مسئله: تعیین درستی یا نادرستی عبارات زیر برای مجموعه $A = \{a, \{b\}, \emptyset \}$. 2. فرمول و قواعد: اگر $X \subseteq Y$ باشد، یعنی هر عضو $X$ در $Y$ نیز وجود دارد. 3. بررسی عبارات: 1) $\{\emptyset\} \subseteq A$؟ - عضو $\emptyset$ در $A$ هست، پس $\{\emptyset\}$ زیرمجموعه $A$ است. 2) $\{a,b\} \subseteq A$؟ - $a$ در $A$ هست ولی $b$ نیست (فقط $\{b\}$ هست)، پس نادرست. 3) $\{\{b\}\} \subset A$؟ - $\{b\}$ عضو $A$ است و $\{\{b\}\}$ زیرمجموعه واقعی $A$ است چون $\{\{b\}\} \neq A$. 4) $\{a, \{b\}, \emptyset\} \subset A$؟ - این مجموعه برابر $A$ است، پس زیرمجموعه واقعی نیست بلکه برابر است، پس نادرست. --- 1. مسئله: نوشتن مجموعه توانی برای $A = \{1, a\}$ و $C = \{1, 2, 3, 4\}$. 2. فرمول: مجموعه توانی $P(S)$ شامل همه زیرمجموعه‌های $S$ است. 3. محاسبه: - $P(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{a\}, \{1, a\}\}$ - $P(C) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{2,4\}, \{3,4\}, \{1,2,3\}, \{1,2,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}, \{1,2,3,4\}\}$ --- 1. مسئله: یافتن $a$ و $b$ به طوری که $A = B$ با $A = \{7, 3b + 2a\}$ و $B = \{9, 2b - 3a\}$. 2. شرط برابری مجموعه‌ها: اعضای دو مجموعه برابر باشند. 3. معادلات: $$\begin{cases} 7 = 9 \,\text{یا}\, 7 = 2b - 3a \\ 3b + 2a = 9 \,\text{یا}\, 3b + 2a = 2b - 3a \end{cases}$$ 4. حل معادلات: گزینه اول: $7 = 9$ غلط، پس $$7 = 2b - 3a$$ $$3b + 2a = 9$$ از معادله اول: $$2b = 7 + 3a \Rightarrow b = \frac{7 + 3a}{2}$$ جایگذاری در معادله دوم: $$3 \times \frac{7 + 3a}{2} + 2a = 9$$ $$\frac{21 + 9a}{2} + 2a = 9$$ $$21 + 9a + 4a = 18$$ $$13a = -3 \Rightarrow a = -\frac{3}{13}$$ حالا $b$: $$b = \frac{7 + 3(-3/13)}{2} = \frac{7 - 9/13}{2} = \frac{(91/13) - (9/13)}{2} = \frac{82/13}{2} = \frac{82}{26} = \frac{41}{13}$$ پاسخ نهایی: $$a = -\frac{3}{13}, \quad b = \frac{41}{13}$$