1. مسئله: داده شده است \( M = \mathbb{Z} \) (مجموعه اعداد صحیح) و \( A' = \{2, 1, 5, 6\} \) و \( B = \{2, -1, -2\} \). باید مقادیر \( (A \cup B)' \)، \( (A \cap B)' \)، \( (A \cap B')' \)، \( A' \cup (B \cap A') \)، \( (A')' \) و \( B - A' \) را بیابیم. 2. ابتدا باید \( A \) را از روی \( A' \) و \( M \) بیابیم. چون \( A' \) مکمل \( A \) نسبت به \( M \) است، داریم: $$ A = M \setminus A' $$ یعنی \( A \) شامل تمام اعداد صحیح به جز \( 1, 2, 5, 6 \) است. 3. حال به ترتیب هر عبارت را محاسبه می‌کنیم: - \( (A \cup B)' = M \setminus (A \cup B) \) از آنجا که \( A = M \setminus A' \)، پس: $$ A \cup B = (M \setminus A') \cup B $$ مکمل آن: $$ (A \cup B)' = M \setminus ((M \setminus A') \cup B) = A' \setminus B $$ - \( (A \cap B)' = M \setminus (A \cap B) \) از قانون د مورگان: $$ (A \cap B)' = A' \cup B' $$ - \( (A \cap B')' = M \setminus (A \cap B') \) باز هم قانون د مورگان: $$ (A \cap B')' = A' \cup (B')' = A' \cup B $$ - \( A' \cup (B \cap A') \) از خاصیت اجتماع و اشتراک: $$ A' \cup (B \cap A') = A' $$ چون اجتماع مجموعه با زیرمجموعه‌اش برابر خود مجموعه است. - \( (A')' = A \) مکمل مکمل مجموعه برابر خود مجموعه است. - \( B - A' = B \setminus A' \) یعنی اعضای \( B \) که در \( A' \) نیستند: $$ B - A' = \{ x \in B : x \notin A' \} = \{-1, -2\} $$ 4. پاسخ نهایی: $$ (A \cup B)' = A' \setminus B = \{1, 5, 6\} $$ $$ (A \cap B)' = A' \cup B' $$ (که برابر با \( (A \cap B)' \) است و می‌توان با توجه به \( B' = M \setminus B \) محاسبه کرد) $$ (A \cap B')' = A' \cup B = \{1, 2, 5, 6, -1, -2\} $$ $$ A' \cup (B \cap A') = A' = \{1, 2, 5, 6\} $$ $$ (A')' = A = M \setminus A' $$ $$ B - A' = \{-1, -2\} $$