1. مسئله: ثابت کنید $$A - (A \cap B) = A - B$$. 2. تعریف‌ها و فرمول‌ها: - تفاضل مجموعه‌ها: $$A - B = \{x | x \in A \text{ و } x \notin B\}$$. - اشتراک مجموعه‌ها: $$A \cap B = \{x | x \in A \text{ و } x \in B\}$$. 3. اثبات: - عضو $$x$$ را در نظر بگیرید. - اگر $$x \in A - (A \cap B)$$ باشد، یعنی $$x \in A$$ و $$x \notin A \cap B$$. - چون $$x \notin A \cap B$$، پس $$x \notin B$$ یا $$x \notin A$$. - اما $$x \in A$$ است، پس نتیجه می‌شود $$x \notin B$$. - بنابراین $$x \in A$$ و $$x \notin B$$ یعنی $$x \in A - B$$. 4. برعکس: - اگر $$x \in A - B$$ باشد، یعنی $$x \in A$$ و $$x \notin B$$. - پس $$x$$ نمی‌تواند در $$A \cap B$$ باشد چون باید در هر دو باشد. - بنابراین $$x \in A$$ و $$x \notin A \cap B$$ یعنی $$x \in A - (A \cap B)$$. 5. نتیجه: - دو مجموعه $$A - (A \cap B)$$ و $$A - B$$ شامل اعضای یکسانی هستند. - پس $$A - (A \cap B) = A - B$$ ثابت شد.