1. ปัญหาคือหาจำนวนสมาชิกของเซต $P(P(A)) \cup P(A)$ โดยที่ $A = \{\emptyset, \sqrt{2}\}$ 2. เริ่มจากหาขนาดของเซต $A$ ซึ่งมีสมาชิก 2 ตัว คือ $\emptyset$ และ $\sqrt{2}$ ดังนั้น $|A| = 2$ 3. เพาเวอร์เซต $P(A)$ คือเซตของเซตย่อยทั้งหมดของ $A$ ซึ่งมีจำนวนสมาชิก $2^{|A|} = 2^2 = 4$ 4. เซต $P(A)$ มีสมาชิกคือ $\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\sqrt{2}\}, \{\emptyset, \sqrt{2}\}\}$ 5. ต่อไปหาขนาดของ $P(P(A))$ ซึ่งเป็นเพาเวอร์เซตของ $P(A)$ ดังนั้นจำนวนสมาชิกคือ $2^{|P(A)|} = 2^4 = 16$ 6. เซต $P(P(A))$ มีสมาชิก 16 ตัว และ $P(A)$ มีสมาชิก 4 ตัว 7. เนื่องจาก $P(A) \subseteq P(P(A))$ เพราะทุกเซตย่อยของ $A$ เป็นสมาชิกของ $P(A)$ และ $P(A)$ เป็นสมาชิกของ $P(P(A))$ 8. ดังนั้น $P(P(A)) \cup P(A) = P(P(A))$ มีสมาชิกทั้งหมด 16 ตัว 9. สรุปคำตอบคือ 16 \boxed{16}