1. נתחיל בפתרון סעיף (א): הבעיה: נתונה קבוצת $A=\mathbb{N}$ ויחס שקילות $R = \{(x,y) \in A^2 : x = y \text{ או } x \cdot y \text{ אי-זוגי}\}$. יש למצוא את קבוצת המנה $A/R$. 2. נבין את יחס השקילות: - $x = y$ הוא יחס שקילות טריוויאלי. - $x \cdot y$ אי-זוגי אומר ששני המספרים $x,y$ הם אי-זוגיים (כי מכפלה אי-זוגית מתקבלת רק ממספרים אי-זוגיים). 3. לכן, שני מספרים $x,y$ שקולים אם: - הם שווים, או - שניהם אי-זוגיים. 4. נבחן את מחלקות השקילות: - כל מספר זוגי מהווה מחלקת שקילות נפרדת, כי אם $x$ זוגי ו-$y$ זוגי, אז $x \cdot y$ זוגי ולכן לא מתקיים $x \cdot y$ אי-זוגי, וגם $x \neq y$ אז הם לא שקולים. - כל המספרים האי-זוגיים שייכים לאותה מחלקת שקילות אחת, כי כל זוג אי-זוגיים מקיימים $x \cdot y$ אי-זוגי. 5. מסקנה: - קבוצת המנה היא: $$A/R = \{\{1,3,5,7,\ldots\}, \{2\}, \{4\}, \{6\}, \{8\}, \ldots\}$$ כלומר, מחלקת שקילות אחת של כל האי-זוגיים, וכל זוגי בפני עצמו במחלקה נפרדת. 6. סיכום: - יש מחלקת שקילות אחת גדולה של כל האי-זוגיים. - כל מספר זוגי הוא מחלקת שקילות נפרדת.