1. Дано множини: $A=\{1,2,3\}$, $B=\{2,3,4,5\}$, $C=\{2,6\}$. Знайти множини: - $B\setminus A = \{x \mid x \in B \text{ і } x \notin A\} = \{4,5\}$ - $A \cap (B \cup C) = A \cap \{2,3,4,5,6\} = \{1,2,3\} \cap \{2,3,4,5,6\} = \{2,3\}$ - $A \setminus B = \{1\}$ - $A \cup B \cup C = \{1,2,3\} \cup \{2,3,4,5\} \cup \{2,6\} = \{1,2,3,4,5,6\}$ - $A \cap B \cap C = \{2\}$ 2. Закон дистрибутивності між множинами можна записати як: - $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ Доведення: - Для довільного $x$, $x \in A \cap (B \cup C)$ тоді й тільки тоді, коли $x \in A$ і ($x \in B$ або $x \in C$). - Це еквівалентно $x \in (A \cap B)$ або $x \in (A \cap C)$. - Отже, $x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$. - Тому множини рівні. 3. Спрощення виразу: - $A \cap (B \cap C) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)$ - За асоціативністю: $(A \cap B \cap C) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C)$ - Оскільки $A \cap B \cap C \subseteq A \cap C$ та $A \cap B \cap C \subseteq B \cap C$, то об'єднання спрощується до - $(A \cap C) \cup (B \cap C) = C \cap (A \cup B)$ 4. Декартовий добуток: - $A=\{1,2,3\}$, $B=\{a,b\}$, $C=\{0,1\}$. - $(A \times B) = \{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}$ - Потім $(A \times B) \times C = \{((1,a),0),((1,a),1),((1,b),0),((1,b),1),((2,a),0),((2,a),1),((2,b),0),((2,b),1),((3,a),0),((3,a),1),((3,b),0),((3,b),1)\}$ - Потужність $|(A \times B) \times C| = |A| \times |B| \times |C| = 3 \times 2 \times 2 = 12$ 5. Відношення та операції: - $R=\{(1,2), (0,1,3), (2,3), (2,)\}$ некоректне через кортежі з 3 та 1 елементом, припустимо $R=\{(1,2),(2,3)\}$. - $S=\{(2,1),(3,1),(0,2),(4,2)\}$ - Матриці за множиною $\{0,1,2,3,4\}$: - $R$: \[ \begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3 & 4\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix} \] - $S$: \[ \begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3 & 4\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix} \] - $S \circ R = \{(x,z) | \exists y: (x,y) \in R, (y,z) \in S\}$: - $(1,2) \in R$, $(2,1) \in S$ => $(1,1) \in S \circ R$ - $(2,3) \in R$, $(3,1) \in S$ => $(2,1) \in S \circ R$ - Отже, $S \circ R = \{(1,1),(2,1)\}$ - Об'єднання: $R \cup S = \{(1,2),(2,3),(2,1),(3,1),(0,2),(4,2)\}$ - Перетин: $R \cap S = \varnothing$ 6. Відношення еквівалентності $R=\{(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}$ на $A=\{1,2,3,4\}$. - Відношення не рефлексивне (відсутні $(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)$). - Найменше розширення (замикання) додає пари щоб забезпечити рефлексивність та транзитивність. - Додаємо $(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)$ додатково. - Перевіряємо транзитивність, вона виконується, бо відношення є симетричним і включає всі пари для парних класів. - Робітки множин: - Клас еквівалентності для 1: $\{1,3\}$ - Клас для 2: $\{2,4\}$ 7. Функція $f(x)=x^2+4$ із $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$: - Ін'єктивність: Не ін'єктивна, бо $f(-a)=f(a)$ для будь-якого $a$. - Сюр'єктивність: Не сюр'єктивна, бо $f(x) \ge 4$, отже значення нижче 4 не досягаються. - Бієктивність: Ні (не ін'єктивна і не сюр'єктивна). 8. Транзитивне замикання для $R=\{(1,2),(2,2),(2,1)\}$ за алгоритмом Уоршалла: - Початково має пари - Додаємо $(1,1)$, бо $(1,2)$ та $(2,1)$ - Замикання: $\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}$ 9. Відношення для Гассе: $\{3,5,9,15,24,45\}$ із зв’язком дільності. - Максимальний елемент: 45 (ділиться на 15, 9, 5, 3 але не ділиться ніким більшим) - Мінімальний елемент: 3 (не ділиться ніким іншим з множини, крім себе) - Нижні грані множини $\{15,45\}$ - це всі елементи, що ділять обидва: $\{3,5,15\}$ - Найбільша нижня грань (найбільший спільний дільник): 15 10. Відношення $R$ на цілих $x,y \in \mathbb{Z}$, де $(x,y) \in R$ тоді й тільки тоді, коли $x = y^2$: - Рефлексивність: Не виконується (коли $x=y$, треба $x=y^2$) - Симетричність: Ні, бо якщо $x=y^2$, не завжди $y=x^2$ - Антисиметричність: Так, бо як $x=y^2$ і $y=x^2$ лише тоді, коли $x=y=0$ або $x=y=1$ - Транзитивність: Ні, бо $x=y^2$ та $y=z^2$ не гарантує $x=z^2$