1. **Problema:** Encontrar las sumas parciales $S_1, S_2, S_3, S_4$ y $S_5$ de la serie $$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots$$ 2. **Fórmula y reglas:** La suma parcial $S_n$ es la suma de los primeros $n$ términos de la serie: $$S_n = \sum_{k=1}^n a_k$$ donde $a_k$ es el término general. 3. **Cálculo de términos:** Los términos dados son $a_1=1$, $a_2=\frac{1}{4}$, $a_3=\frac{1}{5}$, $a_4=\frac{1}{16}$, $a_5=\frac{1}{25}$. 4. **Cálculo de sumas parciales:** $$S_1 = 1 = 1$$ $$S_2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = 1.25$$ $$S_3 = S_2 + \frac{1}{5} = \frac{5}{4} + \frac{1}{5} = \frac{25}{20} + \frac{4}{20} = \frac{29}{20} = 1.45$$ $$S_4 = S_3 + \frac{1}{16} = \frac{29}{20} + \frac{1}{16} = \frac{232}{160} + \frac{10}{160} = \frac{242}{160} = 1.5125$$ $$S_5 = S_4 + \frac{1}{25} = \frac{242}{160} + \frac{1}{25} = \frac{3025}{2000} + \frac{80}{2000} = \frac{3105}{2000} = 1.5525$$ 5. **Respuesta final:** Las sumas parciales son: $S_1 = 1$ $S_2 = 1.25$ $S_3 = 1.45$ $S_4 = 1.5125$ $S_5 = 1.5525$